解的存在唯一性定理和逐步逼近法.ppt
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1、 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法 /Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/,概念和定义,存在唯一性定理,内容提要/Constant Abstract/, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,本节要求/Requirements/, 掌握逐步逼近方法的本思想, 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,一 、概念与定义/Concept a
2、nd Definition/,1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,2. 利普希兹条件,函数,称为在矩形域 :,(3.1.5),关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件,如果存在常数 L0,使得不等式,对所有,都成立。,L 称为利普希兹常数。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,二 、存在唯一性定理,定理1,如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件,
3、则方程(3.1.1)存在唯一的连续解,定义在区间, 且满足初始条件,这里, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,定理1的证明需要证明五个命题:, 命题 1 求解微分方程的初值问题等价于 求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求 初值问题的解 命题 5 证明唯一性, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,定理1的证明,命题1,设,是初值问题,的解的充要条件是,
4、是积分方程,(3.1.6),的定义于,上的连续解。,证明:,微分方程的初值问题的解满足积分方程(3.1.6)。,积分方程(3.1.6)的连续解是微分方程的初值问题的解。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,证 明,因为,是方程(3.1.1)的解,故有:,两边从,积分得到:,把(3.1.2)代入上式,即有:,因此,是积分方程在,上的连续解., 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,反之,如果,是 (3.1.6) 的连续解,则有:,(3.1.8),
5、微分之,得到:,又把,代入(3.1.8),得到:,因此,,是方程(3.1.1)定义于,上,且满足初始条件(3.1.2)的解。,命题1证毕.,同理,可证在,也成立。, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,现在取,,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,x,y,o,x0,x0+a,x0-a,y0,y0-b,y0+b,x0-h,x0+h, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Pro
6、gressive Method,命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数,在,上有定义、连续,即满足不等式:,证 明: (只在正半区间来证明,另半区间的证明类似),当 n =1 时, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,即命题2 当 n=1 时成立。,现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ,命题2都成立。,即 当 n=k 时,,在,也就是满足不等式,在,上有定义,连续,上有定义,连续,,而当 n=k+1 时,,上有定义,连续。,在, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Prog
7、ressive Method,即命题在 n=k时也成立。,由数学归纳法得知命题对于所有 n 均成立。,命题,在,上是一致收敛的。,命题证毕,函数序列,考虑级数:,它的部分和为:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,为此,进行如下的估计,由逐步逼近序列(3.1.9)有:, 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method,设对于正整数 n , 不等式,成立,,于是,由数学归纳法得到:对于所有的正整数 k,有如下的估计:, 3.1 Existence & Un
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