高斯公式.ppt
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1、6 高 斯 公 式,一、高斯公式,定理,设空间闭区域,由分片光滑的闭曲面,所围成,,函数,在,则有,或,这里,取外侧,,为,上点,处的法向量的方向余弦。,证,先证:,(1),简单情形,这时,,:,(1),(2) 一般情形,都是简单情形的,闭区域,,因此,在,上有(1)式成立,,即,两式左右相加,即得(1)式。,同理可证:,(2),(3),(2)(3)(1)三式左右相加,得,证毕。,例1 利用高斯公式计算,其中,为,所围成的,立体的整个边界曲面的外侧。,解,(高斯公式),(柱坐标),例2 利用高斯公式计算,其中,为锥面,介于平面,及,之间的部分的下侧,,为,上点,处的法向量的方向余弦。,解,不是
2、封闭曲面,,不能直接应用高斯公式,添上一个面,(取上侧),则,构成封闭曲面。,设,所围的闭区域为,.,由高斯公式得,(对称性),即,(,),取上侧,,,,,例3,设,在闭区域,上具有一阶、二阶连续偏导数,证明:,这里,为,沿,的外法线方向的,方向导数,,为,的边界曲面外侧。,证,设,的外法线的法向量,的方向余弦为,(高斯公式),即,二、通量与散度,定义1,又,具有一阶连续偏导数,则称,为向量场,的散度,记为,即,给了向量场,高斯公式:,记向量场,又,则上式变为,(,),(,),这就是高斯公式的向量表示形式。,定义2,又,具有一阶连续偏导数,,为向量场,内的一片有向曲面,,为,上点,处的单位法向量,即:,则称,为向量场,沿曲面,的,指定一侧通过,的通量,,记为,,,即,给了向量场,说明,通量,当,是封闭曲面时,,可考虑用高斯公式来计算,.,练习题:,利用高斯公式计算,其中,为上半球面,的上侧。,练习题答案:,提示:,添加一个面,(取下侧),使,构成封闭曲面,,从而,可在,上应用高斯公式,计算出,然后,再减去,即得所求积分。,作业:,P236, 1(1)(3)(4), 2(2), 3(1),P228, 3(3),4,
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