双曲线ppt课件.ppt
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1、要点梳理 1.双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|=2c0) 的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c),则点 P的轨迹叫 .这两个定点叫双曲线的 , 两焦点间的距离叫 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c, 其中a、c为常数且a0,c0:,9.6 双曲线,基础知识 自主学习,双曲线,焦距,(1)当 时,P点的轨迹是 ; (2)当 时,P点的轨迹是 ; (3)当 时,P点不存在.,ac,a=c,ac,焦点,双曲线,两条射线,2.双曲线的标准方程和几何性质,基础自测 1.双曲线方程: 那么k的范围是 ( ) A.k5 B.2k 5 C.-2k2 D
2、.-2k2或k5 解析 由题意知(|k|-2)(5-k)0, 解得-2k2或k5.,D,2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为 ( ) A. B. C. D. 解析 由题知c=4,且 =2,a=2,b2=c2-a2=12, 双曲线方程为,A,3.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支 上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则PF2Q 的周长是 ( ) A.28 B.14-8 C.14+8 D.8 解析 |PF2|+|PQ|+|QF2| =(2a+|PF1|)+|PQ|+(2a+|QF1|) =4a+2|PQ|=8 +14.,C,4.(200
3、9安徽理,3)下列曲线中离心率为 的 是 ( ) A. B. C. D. 解析 e= ,e2= .即 故B选项正确.,B,5.若m0,点 在双曲线 上,则点P到该双曲线左焦点的距离为 . 解析 在双曲线 上,且m0, 代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0), 故|PF1|=,题型一 双曲线的定义 【例1】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与 圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨 迹方程. 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件,结合双曲线定义求解.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 设动圆M的半径为r, 则由已知|MC1|=r+ , |
4、MC2|=r- , |MC1|-|MC2|=2 . 又C1(-4,0),C2(4,0), |C1C2|=8,2 |C1C2|. 根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0)、 C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. a= ,c=4, b2=c2-a2=14, 点M的轨迹方程是 =1 (x ).,探究提高 求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数 法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高 解题速度与质量.在运用双曲线的定义时,应特别 注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨 迹是整条双曲线,还是双曲线的一支,若是一 支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完
5、备性.,知能迁移1 已知点P是 双曲线 =1上除顶点外 的任意一点,F1、F2分别为左、 右焦点,c为半焦距,PF1F2 的内切圆与F1F2切于点M,则 |F1M|F2M|= .,解析 根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等, |F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=2a, 又|F1M|+|F2M|=2c,解得|F1M|=a+c, |F2M|=c-a,从而|F1M|F2M|=c2-a2=b2. 答案 b2,题型二 双曲线的标准方程 【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x3y=0. (1)若双曲线经过P( ,2),求双曲线方程; (2)若双曲线的焦距是2 ,求双曲线方程; (3)若双曲线顶
6、点间的距离是6,求双曲线方程. 用定义法或待定系数法求方程. 解 方法一 由双曲线的渐近线方程y= x, 可设双曲线方程为,思维启迪,(1)双曲线过点P( ,2), 故所求双曲线方程为 (2)若 0,则a2=9 ,b2=4 . c2=a2+b2=13 . 由题设2c=2 , =1, 所求双曲线方程为 若 0,则a2=-4 ,b2=-9 ,c2=a2+b2=-13 .,由2c=2 , =-1, 所求双曲线方程为 所求双曲线方程为 (3)若 0,则a2=9 ,由题设2a=6, =1. 所求双曲线方程为 若 0,则a2=-4 ,由题设2a=6, =- , 所求双曲线方程为 故所求双曲线方程为,方法二
7、 (1)由双曲线渐近线的方程y= x, 可设双曲线方程为 (mn0). 双曲线过点P( ,2),m0,n0. 又渐近线斜率k= , 故所求双曲线方程为,(2)设双曲线方程为 c2=a2+b2,13=a2+b2, 由渐近线斜率得 所求双曲线方程为,(3)由(2)所设方程 故所求双曲线方程为,探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方 法之一. (1)与双曲线 有共同渐近线的双曲 线方程可表示为 (2)若双曲线的渐近线方程是y= x, 则双曲线的方程可表示为 (3)与双曲线 共焦点的双曲线方程可 表示为,(4)过两个已知点的双曲线的标准方程表示为 (5)与椭圆 有共同焦点的 双曲线方程表示为 利用
8、上述结论求关于双曲线的标准方程,可简化 解题过程,提高解题速度.,知能迁移2 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线 有共同的渐近线,且过点 (-3,2 ); (2)与双曲线 有公共焦点,且过点 (3 ,2).,解 (1)设所求双曲线方程为 将点(-3,2 )代入得 所以双曲线方程为 (2)设双曲线方程为 由题意易求c=2 . 又双曲线过点(3 ,2), 又a2+b2=(2 )2,a2=12,b2=8. 故所求双曲线的方程为,题型三 双曲线的性质 【例3】中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一 双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2 , 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,
9、离心率 之比为37. (1)求这两曲线方程; (2)若P为这两曲线的一个交点,求cosF1PF2 的值.,思维启迪,设椭圆方程为 双曲线方程为,解 (1)由已知:c= ,设椭圆长、短半轴长分 别为a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n, 解得a=7,m=3.b=6,n=2. 椭圆方程为 双曲线方程为,(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象 限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14, |PF1|-|PF2|=6, 所以|PF1|=10,|PF2|=4. 又|F1F2|=2 , cosF1PF2=,探究提高 在研究双曲线的性质时,实半轴、虚 半轴所构成的直角三角形是值得关注的一
10、个重要 内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e= 是一个比值,故只需根据条件得到关于a、b、c的 一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形求e, 并且需注意e1.,知能迁移3 已知双曲线的方程是16x2-9y2=144. (1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线 方程; (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双 曲线上,且|PF1|PF2|=32,求F1PF2的大小. 解 (1)由16x2-9y2=144,得 a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0), 离心率e= ,渐近线方程为y= x.,(2)|PF1|-|PF2|=6, cosF1PF2= F
11、1PF2=90.,题型四 直线与双曲线的位置关系 【例4】(12分)已知双曲线C: 的右焦点为B,过点B作直线交双曲线C的右支 于M、N两点,试确定 的范围,使 =0, 其中点O为坐标原点. 直线方程与双曲线方程联立,寻找 交点坐标的关系.,思维启迪,解 设M(x1,y1),N(x2,y2),由已知易求 B(1,0), 当MN垂直于x轴时,MN的方程为x=1, 设M(1,y0),N(1,-y0) (y00), 由 =0,得y0=1, M(1,1),N(1,-1). 又M(1,1),N(1,-1)在双曲线上, 因为0 1,所以 4分,当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1). 得 -
12、(1- )k2x2+2(1- )k2x-(1- ) (k2+ )=0, 8分 由题意知: -(1- )k20, 所以x1+x2= x1x2= 于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)= 10分,因为 =0,且M、N在双曲线右支上, 由,知 12分,探究提高 (1)直线与双曲线的位置关系与直线与 椭圆的位置关系有类似的处理方法,但要注意联立 后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零. (2)当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上 时,在消元时要注意消去范围为R的变量,为解决 根据一元二次方程两根的正负条件的问题打下基础.,知能迁移4 双曲线C与椭圆 有相同的 焦点,直线y= x为C的一条渐近
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