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1、 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 三、直径与共轭直径 双曲型 抛物型 椭圆型 相异的实点 重合的实点 共轭的虚点 l= A33的符号仿射不变. 有心:(A31, A32, A33); 无心:(A31, A32, 0)或(a12,a11,0)或(a22,a12,0). 无穷远直线的极点称为中心. 对非退化二阶曲线讨论:中心、直径与共轭直径、渐近线 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 (1). 直径 仿射定义解几定义 无穷远点P的有穷 远极线(过中心的通常 直线). 一组平行
2、弦中点的 轨迹. (XY, ZP)= 1 (2). 共轭直径 直径AB的共轭直 径为AB上无穷远点P 的极线EF(相互通过对 方极点的两直径). 直径AB的共轭直径 为平行于AB的弦的中 点轨迹EF. (XY, ZP)= 1 仿射定义解几定义 (3). 共轭方向:与一对共轭直径平行的方向. l不是任何二阶曲线的直径! 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义2. 性质 (1). 有心二阶曲线 (i) 的任一对共轭直径与l一起, 构成的一 个自极三点形. (ii) 的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与交点处的两切线. (2). 抛物
3、线 (i) 的直径相互平行(l不是抛物线的直径). (ii) 的任一直径的极点为其与有穷远交点 处切线上的无穷远点. (iii) 的任一直径平分其与有穷远交点处切线 平行的弦. (XY, ZP)= 1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向. 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义2. 性质3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (i) 直径的方程. 因为直径是以的中心为束心的线束中的直线. 以两特殊直径参数表示. 取两无穷远点(1,0,0), (0,1,0), 其极线(对 应的直径)方程为 即从而任一直
4、径l的方程为 注: k的几何意义. (4.37)表示的直径l方程可改写为: 这说明l为(1,k,0)的极线. 而(1,k,0)是l的共轭直径上的无穷远点, 从 而, (4.37)中的参数k为直径l的共轭方向(共轭直径的斜率). 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义2. 性质3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (ii) 两直径共轭的条件. 设直径的共轭直径为l. 则l为l上的无穷远点(a12+ka22,(a11+ka12),0)的极线. 从而l的方程为 即其中 为l的斜率, 即 从而, 两直径共轭两直径的斜率满足对合方程. 性质. 在以有心二
5、阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共 轭直径的对应是一个对合. 三、直径与共轭直径 1. 定义2. 性质3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (2). 抛物线 利用中心坐标, 可直接写出的直径方程为 或者 (a12,a11,0)或(a22,a12,0) 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 四、渐近线 1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线. 注1. 等价定义:过中心的有穷远切线称为渐近线. 注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向. 注3. 双曲线 椭 圆 有两条 实 虚渐近线, 一对渐近方向;抛物线无渐近线. 从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论. 4
6、.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 四、渐近线 1. 定义 2. 性质 (1). 渐近线是自共轭的直径. (2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合 的两条不变直线. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭 直径. 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 求的渐近线方程. 双曲线双曲型对合 椭 圆椭圆型对合 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 求的渐近线方程. 法一. 利用对合不变元素. 在 中, 令k=k得不变元素方程
7、为 此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki(i=1,2), 分别代入 即可得两渐近线方程. 评注:此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为 渐近线, 则ki中应有0或, 实际计算时容易丢失一条渐近线. 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 四、渐近线3. 求渐近线方程 法二. 利用中心和渐近方向. 评注:此法简单且直接, 只要求出中心的非齐次坐标, 渐近线 的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式). 这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为与l的交点, 从而它 们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得 设中心的非齐次坐标为(, ). 则渐近线的方程为 4.6 4.6 二次曲线的仿射理论二次曲线的仿射理论 四、渐近线3. 求渐近线方程 法三. 利用切线方程. 渐近线为过中心的切线, 将中心 P(A31,A32,A33)代入SppS=S2p, 即得渐近线方程. 现对此法进行整理, 因 为 评注:此法推导繁, 实用不繁, 因为在做题时, 首先判断是否退 化, |aij|已有, 再判断是否有心, A33也已知, 从而为已知. 由于P为中心, 所以上式前二项的系数等于0, 从而 将中心坐标代入, 得 由此又得 从而, 过中心的切线(渐近线)方程为 令 得渐近线方程为 今日作业P.143, 2, 3 The Class is over. Goodbye!
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