数值计算中的误差课件.ppt
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1、数值计算中的误差,误差及其来源 误差限和有效数字 相对误差与有效数字的联系 算法的稳定性分析,主要内容,数值计算方法,是指将所欲求解的数学模型(数学问题)简化成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计算机上求出问题的数值解,并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。,一、误差分析,1 数值计算方法,2 误差的含义及其理解,误差无处不在。一个合理的算法也可能得出错误的结果。,3 算法的数值稳定性,算法选得不恰当,不仅影响到计算的速度和效率,还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度,有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步,而计算最终失败
2、,这就是算法的数值稳定性问题。,二、误差的种类及其来源,模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差(凑整误差),过失误差或疏忽误差 非过失误差,1、例子,问题:计算算式 的近似值:,可用下列四个式子进行计算:,分别采用近似值:,和,因此,在研究算法的同时,还必须正确掌握误差的基本概念,以及误差在近似值运算中的传播规律,误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念。否则,一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果来。,解方程,来编制计算机程序,在字长为8,基底为10的计算机上进行运算,则由于计算机实际上采用的是规格化浮点数的运算,这时,01,的第二项中最后两位数“01”,由于受计算机字长的限制,在机
3、器上表示不出来,于是有:,精确解:,求根公式:,对吗?不对,那么需要把算法进行改进!这里利用根与系数的关系:,于是有:,三、 绝对误差和相对误差,(一)、 绝对误差和相对误差限,1、绝对误差,设某一个量的准确值(称之为真值)为 ,其近似值为 ,则 与 的差 称为近似值 的绝对误差,简称误差。当 时,称为亏近似值或弱近似值,反之则称为盈近似值或强近似值。,2、绝对误差限,或精度,此 称为近似值 的绝对误差限,或精度。,由于真值往往是未知或无法知道的,因此 的准确值(真值)也就是无法求出。但一般可估计出此绝对误差 的上限,也即可以求出一个正数 ,使,(二)、相对误差和相对误差限,1、 为什么要讨论
4、相对误差,2 、相对误差,定义:绝对误差与真值之比,4、 绝对误差与相对误差的关系:,3、相对误差限,绝对误差与相对误差比较还有一个差别:量纲之差。,5、 相对误差的其它定义,因为一个量的真值往往是不可能求出的,所以在求相对误差时,常用绝对误差与近似值的比来描述。于是有:,百分误差:,(三)、有效数字及其与误差的关系,1、有效数字,引子:末位的半个单位,有效数字的通俗理解,分析:当近似值 的误差限是其某一位上的半个单位时,就称其“准确”到这一位,且从该位起直到前面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。,例如 的五、六位有效数字分别为:,数字的规格化形式,一般说,设有一个数 ,其近似值 的
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