数字信号处理第二章z变换与离散时间傅里叶变换DTFT.ppt
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1、第二章 z变换和DTFT,本章主要内容:,1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述,2.1 z变换的定义及收敛域,信号和系统的分析方法有两种: 时域分析方法 变换域分析方法 连续时间信号与系统 LT FT 离散时间信号与系统 ZT FT,一、ZT的定义,z 是复变量,所在的复平面称为z平面,二、ZT的收敛域,对于任意给定序列x(n),使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1)有限长序列,Roc-Region of conver
2、gence,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外,整个z 平面均收敛。,如果n20 ,则收敛域不包括点 如果n10 ,则收敛域不包括0点 如果n10n2,收敛域不包括0 、点,2)右边序列,因果序列的z变换必在处收敛 在处收敛的z变换, 其序列必为因果序列,3)左边序列,4)双边序列,例1,收敛域应是整个z的闭平面,例2:求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域,例3:求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域,例4:求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域,例5:求x(n)=a|n|,a为实数,求ZT及其收敛域,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列,只有同时给出收敛域才能唯
3、一确定。 X(z)在收敛域内解析,不能有极点,故: 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,2.2 z反变换,实质:求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法: 围线积分法(留数法) 部分分式法 长除法,z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n),1、围数积分法求解(留数法),若函数X(z)zn-1在围数C上连续,在C以内有K个极点zk,而在C以外有M个极点zm,则有:,1、围数积分法求解(留数法),根据复变函数理论,若函数X(z)在环状区域 内是解析的,则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数,即 而 其中围线c是在X(z
4、)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。,若F(z)在c外M个极点zm,且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上,则:,利用留数定理求围线积分,令,若F(z)在围线c上连续,在c内有K个极点zk,则:,单阶极点的留数:,思考:n=0,1时,F(z)在围线c外也无极点,为何,2、部分分式展开法求解IZT :,常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1,若函数X(z) 是z的有理分式,可表示为:,利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z) 的z反变换。,例2 设 利用部分分式法求z反变换。,解:,3、幂级数展开法求解(长除法):,一般X(z)是有理分式,可利用分子多项式除
5、分母多项式(长除法法)得到幂级数展开式,从而得到x(n)。,根据收敛域判断x(n)的性质,在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,例1,ROC1:,长除法示例,解:由Roc判定x(n)是因果序列,用长除法展成z的负幂级数,ROC2:,解:由Roc判定x(n)是左边序列,用长除法展成z的正幂级数,解:X(z)的Roc为环状,故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列,极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式,1、线性性,2.3 Z变换的基本性质和定理,R1R2,R,|a|R,
6、R,2、序列的移位,3、z域尺度变换 (乘以指数序列),4、 z域求导 (序列线性加权),Z变换的基本性质(续),5、翻褶序列,1/R,R,6、共轭序列,7、初值定理,8、终值定理,Z变换的基本性质(续),9、有限项累加特性,ZT的主要性质参见书p.69页的表2-2,10、序列的卷积和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,2.4 序列ZT、连续信号LT和FT的关系,若:,连续信号采样后的拉氏变换LT,抽样序列:,当,两变换之间的关系,就是由复变量s平面到复变量z平面的映射,其映射关系为,对比:,进一步讨论这一映射关系:,1,s平面到z平面的 映射是多值映射。,:,:,:,:,抽样序列在单位圆上的
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