数学建模中的创新案例.ppt
《数学建模中的创新案例.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学建模中的创新案例.ppt(41页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1,数学建模中的创新案例,2011年7月,2,创造性是灵魂,文章要有闪光点。 好创意、好想法应当既在人意料之外,又在人 意料之中。 新颖性(独特性)与合理性皆备。,数学建模中的创新性,3,误区之一:数学用得越高深,越有创造性。 解决问题是第一原则,最合适的方法是最好的方法。 误区之二:创造性主要体现在建模与求解上。 创造性可以体现在建模的各个环节上,并且可以有多种表现形式。,4,误区之三:好创意来自于灵感,可遇不可求。 好创意来自于对数学方法的掌握程度与对问题理解的透彻程度。,5,在高空中一个边长为160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其
2、数据。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,要立即计算并判断其是否会与区域内的飞机碰撞。如果会碰撞,则要计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞。现假定条件如下:,案例一:飞行管理问题(95A),6,不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里; 每架飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度; 所有飞机飞行速度均为800公里/小时; 欲进入飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里以上; 最多需考虑6架飞机; 不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你建立数学模型,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。(数据略),7,模型
3、建立与求解 模型一:设第 i 架飞机在调整时的 方向角为i ,调整角度为i ( i 1,2,6)。设任意两架飞机在区域内的最短距离为dij(i , j ),那么问题的非线性规划模型为,8,解法:能量梯度法、惩罚函数法、序列无约束最小 化方法、逐步逼近搜索法等 模型二: 模型三:,9,利用相对运动的方法得到以上模型,再简化为线性规划问题求解。 启示:转换角度看问题,也会带来创新点。,10,关键是计算速度与计算精度的平衡问题。牛顿迭代法有很高的精度,但速度较慢;线性近似法速度很快,可以满足实时要求,但精度稍差。 “Rabbit , Turtle and Hunter” 抓住了问题的主要方面速度。
4、启示:创造性体现在对问题的理解程度上, 进而体现在建模思路上。,案例二:螺旋线交点问题(95mcmA),11,案例三: 110警车配置及巡逻方案 (研究生09D),12,某城市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h,接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要尽量满足以下要求: D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于 90;而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。 D2. 使巡逻效果更显著; D3. 警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。,13,请回答以下问题: 一. 若要求满足D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻?
5、二. 请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。 三 请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及 其评价指标值。 四. 在第三问的基础上,再考虑D3条件,给出你们的警车巡逻方案及其评价指标值。 五 如果该区域仅配置10辆警车,应如何制定巡逻方案,使D1、D2尽量得到满足? 六. 若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h,回答问题三。 七. 你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑?给出你们相应的解决方案。,14,解题思路第三问,第三问,本问的主要技术难点在于要求二十几辆车在“动态巡逻”条件下保持“分布均匀性”,求最优解的计算复杂度太高,因此,寻找可接受的计算复杂度与结果的优化之间的平衡点,
6、是本问的关键所在。本问的求解充分体现了建模方法的多样性,为参赛者充分发挥创造性提供了很好的机会。主要解题方法概述如下:,15,解题思路第三问,1)单车分区法:按照覆盖率要求作区域划分,每个区域固定一辆警车巡逻。此方法主要特点是计算简单,但是其代价是需要车辆数较多。例如静态时17辆车即能满足覆盖率要求,如果分成17个区域,每个区域1辆车,则在动态时要保持满足覆盖率要求就非常困难了,所以不得不增加划分区域。此种方法通常要求配置3辆车以上,才能达到覆盖率要求。,16,解题思路第三问,2)多车分区法:为了改进以上单车分区法的缺点,可以考虑每个区域设置若干辆警车共同巡逻的方法,这样可以减少一些车辆,但代
7、价是计算难度的增加,且每一区域配置的车辆越多,计算难度就越大。,17,解题思路-第三问,3)动静结合法:有的参赛队单纯从满足车辆数最少的目标出发,让有的车静止不动,这样即能满足覆盖率要求,车辆数又少。但这样做,见警率指标就很差了,于是就再安排一些车跑见警率。从覆盖率与见警率效果来看,此方法很不错,车辆数还不多(大约或辆),计算也相对简单,似乎是一种好方法。但是这样做,违背了问题本身的实际意义,所以未能得到评委们的认可。数学建模不是解数学题,一定要考虑问题的实际意义是什么,不能为了追求指标的好看而罔顾其实际背景。,18,解题思路第三问,4)软分区法:此方法由方法)延伸而来。与方法)一样,本方法先
8、划分区域,每个区域配置一辆警车,与方法)不同的是,每个区域配置的警车并不是一定不能跨区域巡逻,而是设置了一个跨区域因子,此因子随着周围区域警车的位置以及其本身的位置关系而变化。再设置一个区域中心引力因子,以保证该车不会离开自己的区域中心太远。此方法的思想有创意,但在实现时由于各个因子之间较难平衡,所以效果改进不大。,19,解题思路第三问,5)蚁群算法:此方法属于启发式搜索算法,在此次竞赛中成为主流解法,其思想是:在道路上设置一个“气味因子”,某段道路上跑过的车越多,则该段道路的“气味”变大,并且“气味”随时间变长而衰减。巡逻车每到一个路口,根据路口其它各段道路的“气味”大小,朝“气味”最小的方
9、向前进。想法蛮有创意,在具体实现时还要处理好多辆车的协同问题等细节。如果细节处理得好,此方法所需要的车辆数大约为辆左右,不失为一种比较理想的方案。,20,解题思路第三问,6)引力场方法:此方法与上一方法有类似之处,即每段道路依据走过的警车多少有一个“引力因子”,走过的车辆越多,则“引力”越小;同时,任两辆车之间依据距离远近有一个“斥力因子”,距离越近,则斥力越大。对每一辆警车而言,道路对它的“引力”与其它车辆对它的的“斥力”共同构成了一个“引力场”,它将向着“合成引力”最大的方向前进。这也是一种挺有创意的想法,难处在于细节的处理(例如引力与斥力的合成)及计算上的复杂性,对计算能力有较高的要求。
10、,21,解题思路第三问,7)切片叠加法:由于静态时车辆数较少,并且车辆可以达到“均匀分布”状态,因此一种想法是对时间进行“切片”处理:每一时刻为一个切片,在一个切片上给出所有车辆的一个“均匀分布”,构造出充分多(例如:张)的不同切片,并且通过筛选使这些切片上的车辆分布点尽量分散,这是出于提高切片“叠加”后的车辆到达率指标的考虑。然后对这些切片按照“择近”原则进行排序,再对排序后的切片依次叠加,便得到一个班次(小时或小时)的巡逻方案。,22,解题思路第三问,这个方案的特点是车辆在巡逻时的速度可以不同,但每辆车的平均速度仍为公里/小时,其难点在于对切片的“择近”排序的计算量很大。这是一种很有创意的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 建模 中的 创新 案例
链接地址:https://www.31doc.com/p-3183628.html