数学建模方法浅谈.ppt
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1、数学建模方法浅谈,孟大志 北京工业大学 Tel: 13701377108,李大潜院士倡导:问题驱动的应用数学。 数学建模的目的是科学研究与数学应用。 应用数学方法: 数学建模和科学与工程计算构成了数学应用的两大支柱。,引子:大学生的问题:数学建模 = 数学引模 ?,目前的数学建模教学: 介绍建模五步法(一节课); 工具训练(两节课); 讲解案例(二十节课); 练习(十节课),如何建模?,一、数学建模的本质方法是什么?,类比、引用和借鉴是很有效的方法:现状!,数学建模方法= 创造性的本质方法 + 模型类比方法,但是:,例一、Web中的问题,网络已经成为现代人的一种生活方式。在网上,每天有成千上
2、万的多媒体文件在传输(例如,路透社每天收到网上文本文件达20万)。试建立数学模型,使得可以对这些文件进行自动分类,以便人们阅读和使用。,没有可类比的案例时怎么办?,例二、中国菜系研究,中国是一个美食及其文化非常丰富的国家,因为国土辽阔,人口众多。中国著名的菜系:苏菜、闽菜、川菜、鲁菜、粤菜、湘菜、浙菜、徽菜。 请用数学建模方法研究这些菜系的特点。,1、模型? 数学?数学模型?,从基本概念的理解出发: 模型?+ 数学? 数学模型? 如何建模?,问题:如何从数学模型的概念出发构造方法,1)社会科学模型 经济与管理科学模型、军事模型(越战)、政治模型、社会学模型等等。,1.1 什么是模型,这是一个通
3、过举例或指认回答的简单问题。,例 选举模型:多数选举法、累计选举法等等,是特种社会活动的模型。,例 经济学模型:市场模型、竞争模型、企业战略模型、股票模型、金融模型,等等。,这些模型共同特点是: 分析对象的结构,表达方式易于理解,抽象度低。,建筑模型 ,交通模型,电路模型,服装模型 等等。 表达:建筑设计图、交通网络、电路图、服装模版等。,2)工程技术模型,3)生命科学模型 新陈代谢模型、光合作用模型、血液循环模型、DNA双螺旋模型 、蛋白质结构模型等等。,4)化学模型 苯环 、化学健理论、反应平衡等等;,5)物理模型 基本粒子、原子模型、晶体模型 、光学的衍射等等。,用专业理论抽象出的结构,
4、并用专业语言表示的模型。,1.2 模型是什么?,模型:以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。,抽象出结构:不是一般概念的抽象,而是结 构的抽象;,适当的表示:使用不同知识与方法,需要不同 的语言表示。,特定目的:目的不同,关注的结构(事物的内部 联系)不同;,例. 飞机模型目标不同,模型不同,目的:空气动力学研究 抽象结构:外型结构,除去内部构造;,目的:机舱设计 抽象结构:内部空间结构,除去外部结构;,不同目的关注的内容不同,抽象的结构不同。,表示:专业图形和航空语言表示。,例. 地图是结构的抽象!,概念的抽象(不是模型!):楼群、居住小区、公共场所与设施、商区、政府机关、河流、湖泊、公
5、交线路、各级公路、快速路、高速路、立交桥等等。,目的:城市交通研究,抽象出结构:小区、商区、立交桥、道路、交叉路口等概念的关联和区分忽略细部特征、概念的部分内涵、人口结构等等。,模型表示:城市交通地图,1.3 核心是结构,理解原型的结构,抽象并表示结构是核心问题。,什么是结构?,抽象定义:集合的结构是集合的子集族。,例 图书馆,字符集:中文字、英文字母、数字等等各种字符的全体。,书、文章、多媒体文本等形成子集族集合的文本结构。,文本按知识类型分类,形成不同层次的子集族 国际图书分类法图书馆的藏书结构专业模型。,例.语言的不同结构产生不同的文学信息,唐诗 清明时节雨纷纷 路上行人欲断魂 借问酒家
6、何处有 牧童遥指杏花村,宋词 清明时节雨 纷纷路上行人 欲断魂。 借问酒家何处 有牧童 遥指杏花村。,剧本(元曲) 清明时节 雨纷纷 路上 行人(欲断魂): 借问酒家何处有? 牧童 (遥指): 杏花村。,时间 环境 地点 人物 语言 另人物 动作 语言,抽象出结构:,七言唐诗 ,比较规整,适于言志“诗言志”,宋词 ,错落有序,用语活跃,适于抒情“词抒情”,元曲 时间、地点、 情景、人物、 动作、言语 等。用语白话,易懂。,百姓故事,结构的不同表示可以表现出文学基调不同:,用音高表示:,唏 唏 唏 唏,唏啦嫂发米来斗,嫂 啦 米 啦 嫂 米,规则,变化,结构主义学派( Bourbaki ): 数
7、学 = 集合 + 结构,2. 数学是什么?,这是一个困难的问题,并没有唯一的答案。,布巴基学派认为有三种母结构:序结构、代数结构和拓扑结构;其他数学结构都是母结构的组合或复合,形成复杂结构。不同的数学就是结构不同。,例如 所谓实数直线R,就是由全体实数构成的一维欧氏空间我们将看到,R是一个完备的阿基米德全序域它是由代数结构(域)、序结构(全序)、拓扑结构(完备性结构)形成的分支结构,2.1数学的普适性,原型:具体的元素与部件 具体的结构,数学:抽象的元素 抽象的结构,数学研究的内容决定了数学的普适性!,3. 什么是数学模型,“定义”: 模型原型结构的适当表示; 数学:集合+结构,数学是研究结构
8、的, 数学模型:原型结构的数学表示。 “定义” 如何建模?,3)推导模型公式 完善模型的假设,并表示成适定的形式。,4)求解模型 选择正确的解法,特别是数值计算与分析。,5)回答问题 解释数学解,分析鲁棒性和近似假定,确定解对于问题的作用。,2)选择建模方法 利用经验、技巧和文献选择解决问题的一般性求解方法。,1)提出问题 列出所有变量、单位和所有假设,并表示。用数学表达式给出问题的目标。,1. 目前的方法,一般建模程序,Mark M. Meerschaert的著作“Mathematical Modeling”中,提出数学建模的五步法:,二、结构主义数学建模,以上方法并没有解决抽象什么、怎么抽
9、象,“抽象”是最抽象,学生在没有经验的条件下束手无策。,通常的教学重点在于讲案例,学生没有本质的建模方法的情况下,于是“荐模”和“引模”成为主要方法。,结构化建模方法: 提供分析的方法分析结构的方法, 学习原型结构的表示方法建立专业模型,学习数学结构,产生建模的可操作程序。,结构化建模方法不是排斥“五步法”,而是充实“第二步”的具体可行的方法。,2. 结构化数学建模程序,数学语言表示的结构,数学模型,专业语言描述结构,专业模型,分析出原型的结构,并用数学语言表示其结构。,一般流程:,有些问题专业模型难,有些问题数学模型难。,对原型确定目的,2010年赛题:上海世博会影响力的定量评估 2010年
10、上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始,世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面,建立数学模型,利用互联网数据,定量评估2010年上海世博会的影响力。,三、结构主义建模例子,用结构主义的观点分析问题 “问题”的结构: 背景、条件或限制、问题的目标,理解背景:背景帮助你理解问题的全貌,特别是开拓性。(高教收费问题的引起) 分析条件:条件的内涵容易清晰,往往外延模糊,从而对于建模假设很有意义。 明确目标:目标明确,特别是多目标的主次和关联性识别。,对问题理解的关键1(背景的概念)
11、: 什么是互联网数据?,在互联网上自然传播的数据,包括传播的文本、多媒体数据类等; 在互联网上发生的数据:点击率等,由设备或终端的行为转换成的数据。 互联网自身以外形成的文本和多媒体数据,本身并不是在互联网上自然传播:图书馆的电子书,统计局的统计数据,银行数据等,应该不是互联网数据。,对问题理解的关键2(条件的多种选择,外延): “选择感兴趣的某个侧面”,这是问题中的简化性条件,因为问题涉及的方面太多,所以只要从某个方面去证明自己的结论。 对问题理解的关键3(目标的内涵限定): “定量评估”,两类互联网数据都要量化,特别是网络上自然传播的文本,需要量化分析。,分析: 从条件理解的关键2,显然在
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