四旋转体的侧面积补充.ppt
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1、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六章 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线与直 及 x 轴所 则 机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束 围曲边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 线 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例1. 计算两条抛物线在第一 象限所围所围图形的面积 . 解: 由 得交点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例2. 计算抛物线与直线 围图形的面积 . 解: 由 得交点 所 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 机动
3、目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则
4、曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为
5、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 对应例5. 计算阿基米德螺线 解: 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从 0 变到 2 所围图形面积 . YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例6. 计算心形线所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZ
6、HOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 心形线(外摆线的一种) 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长: 参数的几何意义 心形线 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例7. 计算心形线 与圆所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZ
7、HOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例8. 求双纽线所围图形面积 . 解: 利用对称性 ,则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
8、即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (P168) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(
9、弧微分) : 因此所求弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 机动
10、目录 上页 下页 返回 结束 下垂 悬链线方程为 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例10. 求连续曲线段 解: 的弧长. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例11. 计算摆线 一拱 的弧长 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YA
11、NGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例12. 求阿基米德螺线相应于 02 一段的弧长 . 解: (P349 公式39) 小结 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续, YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSI
12、TY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 特别 , 当考虑连续曲线段 绕 x 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴 旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则(利用对称性) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY
13、YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例14. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERS
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