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1、,第六章 弯曲变形,1 工程中的弯曲变形问题 2 挠曲线的微分方程 3 用积分法求弯曲变形 4 用叠加法求弯曲变形 5 简单超静定梁 6 减小弯曲变形的一些措施,回 顾: 弯曲内力在外力作用下,梁的内力沿轴线 的变化规律。 弯曲应力在外力作用下,梁内应力沿横截面高度的分布规律。 本 章: 弯曲变形在外力作用下,梁在空间位置的变化规律。,6-1 工程中的弯曲变形问题,工程中的弯曲变形,吊车梁变形如果过大,小车会出现爬坡现象,并引起较严重的振动。加以限制,汽车上的叠板弹簧变形越大,缓冲减震的效果就会越好。加以利用,6-2 挠曲线的微分方程,1、挠曲线: 在平面弯曲的情况下,梁变形后的轴线在弯曲平面
2、内成为一条曲线,这条曲线称为挠曲线。,M,弯曲后梁的轴线 (挠曲线),2. 梁变形的度量挠度、转角,C,C,(2)挠曲线:变形后梁的轴线,挠曲线方程:,(1) 挠度w:截面形心在y方向的位移。,向上为正, 转角:截面绕中性轴转过的角度。(挠曲线法线与y轴的夹角=挠曲线切线与x轴夹角),逆时针为正,C点的斜率是挠曲线在该处的一阶导数,挠度与转角的关系:,3. 挠曲线的近似微分方程的导出,等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为:,这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。,在横力弯曲下,梁的横截面上除弯矩外还有剪力。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍,此时剪力FS对梁
3、变形的影响可忽略不计,则有,从几何方面来看,平面曲线的曲率可写作,式中,等号右边有正负号是因为曲率 为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值,而 是 沿x方向的变化率,是有正负的。,由于梁的挠曲线为一平坦的曲线,上式中的w2与1相比可略去,于是得挠曲线近似微分方程,图示坐标系中,正弯矩对应正的 , 负弯矩对应负的 ,故由上两式有,6-3 用积分法求弯曲变形,当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(如图),上两式中的积分常数C,D由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。,边界条件(即支座的约束条件)的示例如下图:,弹簧变形,若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写
4、出时,各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时,都将出现两个积分常数。,要确定这些积分常数,除利用支座约束条件外,还需利用相邻两段梁在交界处的光滑连续条件。这两类条件统称为边界条件。,利用积分法求梁变形的一般步骤: (1)建立坐标系(一般:坐标原点设在梁的左端),求支座反力,分段列弯矩方程; 分段的原则:,凡载荷有突变处(包括中间支座),应作为分段点;,凡截面有变化处,或材料有变化处,应作为分段点;,中间铰视为两个梁段间的联系,此种联系体现为两部分之间 的相互作用力,故应作为分段点;,(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程,并对其积分 两次 对挠曲线近似微分方程积分一次
5、,得转角方程: 再积分一次,得挠曲线方程:,(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数 积分常数的数目取决于的分段数 M (x) n 段 积分常数2n个 举例:,分2段,则积分常数2x2=4个,(4)建立转角方程和挠曲线方程; (5)计算指定截面的转角和挠度值,特别注意 和 及其所在截面。,边界条件:,连续条件:,例题:列出图示结构的边界条件和连续条件。,例题:列出图示结构的边界条件和连续条件。,解:边界条件:,连续条件:,例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程,并求最大转角、最大挠度,EI已知。,解:, 列弯矩方程, 列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次, 确定积分常数,解得, 确定转
6、角方程和挠曲线方程, 确定最大转角和最大挠度,例题6.2 求梁的转角方程和挠曲线方程,并求最大转角、最大挠度,梁的EI已知,l=a+b,ab。,解:, 由梁整体平衡得:, 列弯矩方程,AC 段:,CB 段:, 列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段:,CB 段:, 确定积分常数,代入求解,得,支座约束条件,光滑连续条件, 确定转角方程和挠曲线方程,AC 段:,CB 段:, 确定最大转角和最大挠度,令 得,,令 得,,根据图示挠曲线的大致形状可知,最大挠度wmax在左段梁内。,令 得,,在工程计算中,只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可用跨中挠度代替最大挠度。,讨 论,积分法求变形有什么优缺点?,作业
7、:6-5(a),6-4 用叠加法求弯曲变形,在线弹性和小变形范围内,梁的挠度和转角均与载荷成线性关系。当梁上有若干载荷作用时,梁某个截面处的挠度和转角就等于每个载荷单独作用下该截面挠度和转角的代数和。这就是计算梁位移的叠加原理。,在简单载荷作用下,悬臂梁自由端的挠度和转角表达式,及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在表6.1中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理,往往可较方便地计算复杂载荷情况下梁指定截面的挠度和转角。,叠加法的两种处理方法: (1)荷载叠加:,叠加原理:在小变形和线弹性范围内,由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角,应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代
8、数和。,梁上有分布载荷,集中力与集中力偶。,弯矩:,弯矩的叠加原理- 梁在几个载荷共同作用下的弯矩值,等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。,1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查; 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,一、前提条件:弹性、小变形。,二、叠加原理:各荷载同时作用下,梁任一截面的挠度或转角,等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、叠加法的特征:,叠加法计算梁的变形,例题6.3 图示简支梁,q、l、EI均已知。求wC 、B。, 将梁上的载荷分解, 查表:,解:, 应用叠加法,将简单载荷作用时的结果求和,例题6.4 图示悬臂梁,q、l、
9、EI均为已知。求wC和C。, 将载荷变为有表可查,为利用梁全长受均布载荷的已知结果,先将均布载荷延长至梁的全长;,解:,为不改变原载荷的作用效果,在AB 段加上集度相同、方向相反的均布载荷。, 将结果叠加, 计算两种载荷下的wC和C 。,(2)逐段刚化法:,例题6.5 试用叠加法求图示等直外伸梁的 B 、 wA和wD。,解:为利用附录中简支梁和悬臂梁的挠度和转角,将外伸梁看作由悬臂梁和简支梁连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上,它们的指向和转向也应与 的正负相对应,如图b、c所示。,图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与
10、原外伸梁BC段完全相同。注意:简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲。可知按图d和图e所示情况求Bq, BM 和 wDq,wDM 并叠加后得原外伸梁的 B和wD。,图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同,但要注意:原外伸梁的B支座截面是可以转动的,其转角就是上面求得的 B,由此引起的A端挠度w1= Ba应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA :,6-5 简单超静定梁,C,=,由平衡方程可以解出全部未知数,静定问题,二个平衡方程,三个未知数。,平衡方程数 未知数。,超静定问题,平衡方程数 = 未知数。,去掉多余约束而成为形式上的静定结构
11、 基本静定基。,用变形比较法解简单超静定梁的基本思想: (1)解除多余约束,变超静定梁为静定梁; (2)用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较,建立协调方程; (3)通过协调方程(即补充方程),求出多余的约束反力。,用变形比较法解简单超静定梁的基本思想:,1、 确定超静定次数。,2、 选择基本静定梁。,静定梁(基本静定基) 将超静定梁的多余约束解除,得到相应的静定系统,该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以及内力。,多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束或多余杆件。,多余约束的数目=超静定次数,多余约束的数目=1,静定梁(基本静定基)选取,(2)解除A端阻止转动的支座反力矩
12、作为多余约束,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。,A,(1)解除B支座的约束,以 代替,即选择A端固定B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。,(b) 基本静定基要便于计算,即要有利于建立变形协调条件。一般来说,求解变形时,悬臂梁最为简单,其次是简支梁,最后为外伸梁。,基本静定基选取可遵循的原则:,(a) 基本静定基必须能维持静力平衡,且为几何不变系统;,A,3、列出变形协调条件。,比较原静不定梁和静定基在解除约 束处的变形,根据基本静定梁的一 切情况要与原超静定梁完全相同的 要求,得到变形协调条件。,本例: (1),4、用积分法或叠加法求变形,并求出多余未知力。,仅有q作用,B点挠度为:,仅有 作用
13、,B点挠度为:,因此,解得:,5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。,本例: (1),因此,6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。,例题 图示静不定梁,等截面梁AC的抗弯刚度EI,拉杆BD的抗拉 刚度EA,在F力作用下,试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。,1、选择基本静定梁。,解:,2、列出变形协调条件。,而,(1),解得:,代入(1):,3、在基本静定梁上由叠加法求 。,在F力单独作用下:,在 力单独作用下:,解得:,在本例中,在F力作用下,拉杆BD伸长,因而B处下 移, B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量,即,例题 图示结构,悬臂梁AB与简支梁DG均用No
14、.18工字钢制成,BC 为圆截面钢杆,直径d=20cm, 梁与杆的弹性模量均为E=200GPa, 若载荷F=30KN,试计算梁内的最大弯曲正应力与杆内的最大正 应力以及横截面C的铅垂位移 。,1、用多余约束反力代替多余约束(取静定基,原则:便于计算),2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程,3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力,计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。,C,=,L/2,A,C,A,q,L/2,B,Rc,分析,C,解超静定的步骤 (静力、几何、物理条件),解:1)研究对象,AB梁, 受力分析:,C,)物理条件,例 已知梁的EI,梁的长度,求各约束反力。
15、,)变形协调方程,)选用静定基,去支座,联立求解:,C,画出剪力图、弯矩图。,解:,例题6.6 试作图示梁的内力图。, 该梁为一次超静定 去掉B处的多余约束,以悬臂梁为静定基,并代之以多余约束力FB,得原超静定梁的相当系统。, 比较变形,列出变形协调条件 相当系统在B点的挠度应为零, 由物理关系求出多余约束力, 由整体平衡求其它约束反力, 作梁的内力图,作业:6-31,6-6 减小弯曲变形的一些措施,由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看: 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素:,材料梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比; 截面梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比; 跨长梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 (转角为 L 的 2 次幂,挠度为 L的 3 次幂),(1)减小跨度,增加支座,或加固支座。,例如受q作用的简支梁:,方法:,增加支座:,加固支座:,(2)选用合理截面, 。,常采用工字形、箱形截面,以提高惯性矩。与强度不同的是要 提高全梁或大部分梁的惯性矩,才能使梁的变形有明显改善。,(3)合理安排载荷作用点,以降低 。,方法:,使载荷尽量靠近支座,载荷大多数由支座承担。例如:,(4) 预加反弯度(预变形与受力时梁的变形方向相反,目的起到一定的抵消作用),
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