四章向量组的线相关.ppt
《四章向量组的线相关.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《四章向量组的线相关.ppt(107页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第四章 向量组的线性相关性,1 向量组及其线性组合,定义:n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n 维向 量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第 i 个数 ai 称为第 i 个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 备注: 本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量 本书中,列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示,行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示,定义:若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为 向量组 当R(A) n
2、 时,齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量,结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,有限向量组,定义:给定向量组 A:a1, a2, , am , 对于任何一组实数 k1, k2, , km ,表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数 定义:给定向量组 A:a1, a2, , am 和向量 b,如果存在一组 实数 l1, l2, , lm ,使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合,这时称向量 b 能由向量组 A 的线
3、性表示,例:设,那么,线性组合的系数,e1, e2, e3的 线性组合,一般地,对于任意的 n 维向量b ,必有,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,回顾:线性方程组的表达式,一般形式 向量方程的形式,增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式,方程组有解?,向量 是否能用 线性表示?,结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,向量b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,P.83 定理1 的结论:,定义:设有向量组 A:a1, a2, , am 及 B:b1, b2, , bl , 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示,则称向 量组
4、B 能由向量组 A 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示,则称这两个向量 组等价,设有向量组 A:a1, a2, , am 及 B:b1, b2, , bl , 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示,即,线性表示的 系数矩阵,设有向量组 A:a1, a2, , am 及 B:b1, b2, , bl , 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示,即 对于 b1 ,存在一组实数 k11, k21, , km1 ,使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ; 对于 b2 ,存在一组实数 k12, k22, , km2 ,使得 b2 = k12a1 + k2
5、2 a2 + + km2 am ; 对于 bl ,存在一组实数 k1l , k2l , , kml ,使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am,若 Cmn = Aml Bln ,即,则,结论:矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示, B 为这一线性表示的系数矩阵,若 Cmn = Aml Bln ,即,则,结论:矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示, A 为这一线性表示的系数矩阵,口诀:左行右列,定理:设A是一个 mn 矩阵, 对 A 施行一次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换,相当于
6、在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 结论:若 C = AB ,那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示,A为这一线性表示的系数矩阵(A 在左边) 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示,B为这一线性表示的系数矩阵(B 在右边),A 经过有限次初等列变换变成 B 存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ,使 AP1 P2 , Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P,使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价,矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价,同理可得,口诀:左行右列.,把 P 看成是 线性表示的 系数矩阵,向量组
7、B:b1, b2, , bl 能由向量组 A:a1, a2, , am 线性表示 存在矩阵 K,使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) (P.84 定理2) R(B) R(A) (P.85 定理3),推论:向量组 A:a1, a2, , am 及 B:b1, b2, , bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B) 证明:向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ,因为 R(B) R(A, B),R(A) = R(A,
8、 B),R(B) = R(A, B),例:设 证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示,并求出表示式,解:向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ,因为R(A) = R(A, b) = 2, 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示,行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 ,n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量 设有nm 矩阵 A = (a1, a2, , am) ,试证:n 维单位坐标向 量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是 R
9、(A) = n ,分析: n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 R(A) = R(A, E) R(A) = n ,(注意到:R(A, E) = n 一定成立),小结,向量 b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,向量组 B 能 由向量组 A 线性表示,矩阵方程组AX = B 有解,向量组 A 与 向量组 B 等价,知识结构图,n维向量,向量组,向量组与矩阵的对应,向量组的线性组合,向量组的线性表示,向量组的等价,判定定理及必要条件,判定定理,2 向量组的线性相关性,回顾:向量组的线性组合,定义:给定向量组 A:a1, a2, , am , 对于任何一组实
10、数 k1, k2, , km ,表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数 定义:给定向量组 A:a1, a2, , am 和向量 b,如果存在一组 实数 l1, l2, , lm ,使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示,引言,问题1:给定向量组 A,零向量是否可以由向量组 A 线性表 示? 问题2:如果零向量可以由向量组 A 线性表示,线性组合的 系数是否不全为零?,向量b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,P.83 定
11、理1 的结论:,问题1:给定向量组 A,零向量是否可以由向量组 A 线性表示? 问题1:齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解? 回答:齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解 事实上,可令k1 = k2 = = km =0 ,则 k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量),问题2:如果零向量可以由向量组 A 线性表示,线性组合的系数 是否不全为零? 问题2:齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解? 回答:齐次线性方程组不一定有非零解,从而线性组合的系数 不一定全等于零,例:设,若,则 k1 = k2 = k3 =0 ,向量组的线性相关性,定义:给定向量组 A:a1, a2
12、, , am ,如果存在不全为零的实 数 k1, k2, , km ,使得 k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量) 则称向量组 A 是线性相关的,否则称它是线性无关的,向量组 A:a1, a2, , am 线性相关,m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解,R(A) m,备注: 给定向量组 A,不是线性相关,就是线性无关,两者必居其一 向量组 A:a1, a2, , am 线性相关,通常是指 m 2 的情形. 若向量组只包含一个向量:当 a 是零向量时,线性相关;当 a 不是零向量时,线性无关 向量组 A:a1, a2, , am (m 2) 线性相关,也就是向量组 A
13、中,至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示 特别地, a1, a2 线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例,其几何意义是两向量共线 a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面,向量组线性相关性的判定(重点、难点) 向量组 A:a1, a2, , am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, , km ,使得 k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量) m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性 表示,向量组线性无关性的判定
14、(重点、难点) 向量组 A:a1, a2, , am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量),则必有 k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线 性表示,向量组线性相关性的判定(重点、难点) 向量组 A:a1, a2, , am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, , km ,使得 k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量) m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 矩阵A
15、 = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性 表示,向量组线性无关性的判定(重点、难点) 向量组 A:a1, a2, , am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量),则必有 k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解 矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线 性表示,例:试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性,例:已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1
16、, a2 的线性相关性 解: 可见 R(a1, a2, a3 ) = 2,故向量组 a1, a2, a3 线性相关; 同时,R(a1, a2 ) = 2,故向量组 a1, a2 线性无关,例:已知向量组 a1, a2, a3 线性无关,且 b1 = a1+a2, b2 = a2+a3, b3 = a3+a1, 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关 解题思路: 转化为齐次线性方程组的问题; 转化为矩阵的秩的问题,例:已知向量组 a1, a2, a3 线性无关,且 b1 = a1+a2, b2 = a2+a3, b3 = a3+a1, 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关 解法1:
17、转化为齐次线性方程组的问题 已知 ,记作 B = AK 设 Bx = 0 ,则(AK)x = A(Kx) = 0 因为向量组 a1, a2, a3 线性无关,所以Kx = 0 又 |K| = 2 0,那么Kx = 0 只有零解 x = 0 , 从而向量组 b1, b2, b3 线性无关,例:已知向量组 a1, a2, a3 线性无关,且 b1 = a1+a2, b2 = a2+a3, b3 = a3+a1, 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关 解法2:转化为矩阵的秩的问题 已知 ,记作 B = AK 因为|K| = 2 0,所以K 可逆,R(A) = R(B), 又向量组 a1, a
18、2, a3 线性无关, R(A) = 3, 从而R(B) = 3,向量组 b1, b2, b3 线性无关,定理(P.89定理5) 若向量组 A :a1, a2, , am 线性相关, 则向量组 B :a1, a2, , am, am+1 也线性相关 其逆否命题也成立,即若向量组 B 线性无关,则向量组 A 也线性无关 m 个 n 维向量组成的向量组,当维数 n 小于向量个数 m 时,一定线性相关 特别地, n + 1个 n 维向量一定线性相关 设向量组 A :a1, a2, , am 线性无关, 而向量组 B :a1, a2, , am, b 线性相关,则向量 b 必能由向量组 A 线性表示,
19、且表示式是唯一的,3 向量组的秩,矩阵,线性 方程组,有限 向量组,系数矩阵 增广矩阵,有限向量组与矩阵一一对应,Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示,课本P. 88定理4: 向量组 A:a1, a2, , am 线性相关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m ; 向量组 A:a1, a2, , am 线性无关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m ,矩阵,线性 方程组,有限 向量组,无限 向量组,系数矩阵 增广矩阵,有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列(行)向量组的秩,A
20、x = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示,向量组与自己的 最大无关组等价,回顾:矩阵的秩,定义:在 mn 矩阵 A 中,任取 k 行 k 列( k m,kn), 位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式,称为矩阵 A 的 k 阶子式 规定:零矩阵的秩等于零,定义:设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有 r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零,那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 R(A),结论: 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的
21、非零行的行数,向量组的秩的概念,定义:设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar,满足 向量组 A0 :a1, a2, , ar 线性无关; 向量组 A 中任意 r + 1个向量(如果 A 中有r + 1个向量的话)都线性相关; 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩,记作RA ,例:求矩阵 的秩,并求 A 的一个 最高阶非零子式,第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列,,与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列,解:第一步先用初等
22、行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵有 3 个非零行,故R(A) = 3 ,R(A0) = 3,计算 A0的前 3 行构成的子式,因此这就是 A 的一个最高阶非零子式 结论:矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的,但矩阵的秩 是唯一的,事实上, 根据 R(A0) = 3 可知: A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个线性无关的部分组 在矩阵 A 任取 4 个列向量,根据 R(A) = 3 可知:A中所有4 阶子式都等于零,从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于 4,即这 4 个列向量线性相关 A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组 矩阵 A 的列向量组
23、的秩等于 3 同理可证,矩阵 A 的行向量组的秩也等于 3,矩阵,线性 方程组,有限 向量组,系数矩阵 增广矩阵,有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列(行)向量组的秩,Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示,一般地, 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 矩阵的秩等于它的行向量组的秩(P.90 定理6),一般地, 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 矩阵的秩等于它的行向量组的秩(P.90 定理6) 今后,向量组 a1, a2, , am 的秩也记作 R(a1, a2, , am ) 若Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式,则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 向量 相关
链接地址:https://www.31doc.com/p-3193999.html