四章节函数极限通论.ppt
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1、1,第四章 函数极限通论,郇中丹 2006-2007学年第一学期,2,基本内容,1 数值函数极限的统一形式 2 函数沿基极限的性质 3 函数沿基极限存在的条件,3,1.数值函数极限的统一形式,一元函数极限的基本形式 集合基 函数沿基收敛 函数沿基的无穷极限,4,一元函数极限的基本形式,微积分研究的基本对象是 . 基本工具是极限. 而一元数值函数(m = n = 1)是其中的最简单和最基本情形. 在微积分中, A一般是区间. 一元函数的极限分成下面的六类: 在一点的极限、在一点的左极限、在一点的右极限、在处的极限、在+处的极限、在-处的极限. x0相对于A的空心邻域=xA | 0|x-x|d.,
2、5,集合基,集合基: 设A是非空集合. A的子集族B叫作A的一个(集合)基, 如果B满足如下两条性质: B包含无限多个A的非空子集, 的元素叫作终端; b1, b2B, b3B, b3b1b2. 集合基的例子: 1. A=N, B=b=nN | nk | kN; 2. A=I, x0I, B=b=xA | 00; 3. A=I, x0I, B=b=xA | 00; 4. A=R, B=b=(c,+) | c0.,6,函数沿基收敛,设: AR, B是A的一个基, lR.沿B收敛到极限l, 如果e0, bB, xb, |(x)-l|e. 记做(x)l(沿基B)或 例子: 1. 数列极限, 常用记号
3、; 数列基. 2. 函数在一点的极限,常用记号;双侧基. 3. 函数在一点的左极限,常用记号;左侧基. 4. 函数在一点的右极限,常用记号;右侧基. 5. 函数在+处的极限,常用记号;+侧基. 6. 函数在处的极限,常用记号. 基.,7,函数沿基的无穷极限,设: AR, B是A的一个基, lR.沿基B有极限+, 如果c0, bB, xb, (x)c. 记做(x) +(沿基B)或 类似地可以给出极限为, 或-的定义. 在下面的讨论中, 如果没有特殊申明, 一般讨论所说的极限都是有限极限.,8,习题八 (I),1. 写出下列极限的定义和相应的基: 2. 验证下列极限,9,习题八 (II),3. 证
4、明: 数列基,双侧基,左侧基,右侧基, +侧基, -侧基和基都具有如下性质: 存在可数多个终端bn满足 (1) 若mn, bnbm; (2) 对于任何终端b, n, bnb. sn(x) A A若bR ,10,2 函数沿基极限的性质,函数的有界性与无穷小量 极限基本性质,11,函数的有界性与无穷小量,函数的有界性: 设: AR, DA. 如果存在c0,使得xD, |(x)|c, 就说在D上有界. 类似地可以定义有上界和有下界. 函数的终极有界性:设: AR, B是A的一个基.如果存在bB,使得xb, |(x)|c, 就说关于基B终极有界. 类似地可以定义终极有上界和终极有下界. 无穷小量: 若
5、a(x)0 (沿基B), 就称a是沿基B的无穷小函数或无穷小量.,12,极限基本性质 (I),1.惟一性: 若函数沿基B的极限存在,则极限是惟一的. 2. 极限的终极惟一性: 设存在bB, 使得xb, (x)=g(x). 如果(x)l (沿基B), 则g(x)l (沿基B). 3.终极有界性: 若(x)l (沿基B), 则关于基B终极有界.,13,极限基本性质 (II),4.非零极限的终极保号性:设(x)l (沿基B). 若l0, 则存在bB, 使得xb, (x)l/2.若l0, 则存在bB, 使得xb, (x)l/2. 5. 无穷小估计: 设a是沿基B的无穷小量, 沿基B终极有界. 若bB,
6、 xb, |b(x)|a(x)(x)|, 则b是沿基B的无穷小量. 6. 极限的算术性质:若(x)l1 (沿基B), g(x)l2 (沿基B), 则(x)+g(x)l1+l2(沿基B), (x)g(x) l1l2 (沿基B), (x)/g(x) l1/l2 (沿基B) (若l2 0).,14,极限基本性质 (III),7. 保序性1:设(x)l (沿基B).若bB,xb,(x) c,则 lc.类似地,若bB,xb, (x)c, 则Lc. 8.保序性2:设(x)l1,g(x)l2 (沿基B).若bB, xb, (x)g(x),则 l1l2. 9.夹逼性质2:设(x)l,h(x)l (沿基B).若
7、bB, xb, (x)g(x)h(x), 则g(x) l (沿基B).,15,习题九 (I),1. 设和g是定义在区间(a,b)上的函数. 给出 中相应的基B和相应的极限定义. 证明: 如果g(x) l 0(沿基B), 则(x)g(x)+(沿基B). 2. 计算下列极限:,16,习题九 (II),3. 计算下列极限: 4. 设: (0,+)R且对于任何a0, 在(0, a)上有界. 证明: 如果 , 则,17,3函数沿基极限存在的条件,函数沿基存在极限的Cauchy准则 Heine收敛性和常见基 Cauchy收敛性和Heine收敛性 复合函数的极限定理 无穷小函数的阶 大O与小o记号,18,函
8、数沿基存在极限的Cauchy准则,Cauchy准则: 函数沿基B有极限, 当且仅当e0, bB,使得x,yb, |(x) -(y)|0,则bB,使得xb, |(x) - l|0,bB,使得x,yb,| (x)-(y)| e. 先构造构造出候选极限l, 然后证明(x)l. 3.构造闭区间套Dn和终端列b(n)使其满足: (1) xb(n), (x)Dn; (2) 若nm, b(m)b(n); (3) |Dn|1/n. (先假定已经得到Dn和b(n),19,Cauchy准则证明 (续I),4. 由闭区间定理, !l Dn. 下面证明(x)l (沿基B). 任取e0, 则存在n使得1/ne. 则xb
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