微积分.ppt
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1、7 导数在经济分析中的应用,一(补充) 导数在经济分析中的应用,导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.下面介绍导数(或微分)在经济中的一些简单的应用.,1.边际分析与弹性分析,边际和弹性是经济学中的两个重要概念.用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法,称之为边际分析与弹性分析.,(本段内容可参见微积分教程西南财大出版社),定义 经济学中,把函数(x)的导函数 f (x) 称为(x)的边际函数. 在点 x0 的值 f (x0) 称为(x)在 x0 处的边际值(或变化率、变化速度等).,在经济学中, 通常取x =1, 就认为x达到很小(再小无意义).故有,
2、(1)边际函数,例 某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的函数为,求 (1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量; (3)当日产量为75件时的边际成本.,实际问题中, 略去近似二字, 就得(x)在 x0 处的边际值f (x0) 的经济意义:,即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时,函数(x)的增量.,(3)当日产量为75件时的边际成本,(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量,解 (1)日产量75件时的总成本为C(75)=7956.25(元),
3、平均成本 =106.08(元/件);,例 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和300公斤时的边际利润.并说明其经济意义.,边际成本的经济意义: C(75)=97.5说明当产量x=75件时, 再增加1件产品的成本为97.5元.,解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) C(x) =,边际利润函数为,(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润分别是,其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元.当日产量为 250公斤时,再增加1公斤,则总利润无增加. 当日产量为30
4、0公斤时,再增加1公斤,则总利润减少1元.,(2)弹性,弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时, 所作出反映的强弱程度.即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量.,定义 若函数y =(x)在点 x0(0) 的某邻域内有定义, 且 f(x0)0 ,则称x和y分别是x和y在点x0处的绝对增量,并称,分别为自变量x与(x)在点x0 处的相对增量.,由弹性定义可知若 y = (x) 在点 x0 处可导.则它在 x0 处的弹性为,(3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关.,例 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的函数关系为,(a是常数), 求,(1)需求弹性函数
5、(通常记作 ). (2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.,易知: 任何需求函数对价格之弹性 ,均满足,在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(p0)或降价(p0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念,可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.,(1) 若 (称为高弹性)时,则R与p异.此时降价(p 0)将使收益减少;,(2)若 (称为低弹性)时, 则R与p 同号.此时,降价(p 0)将使收益增加;,从而有结论:,(3)若 (称为单位弹性)时,则R0 .此时,无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响.,由此对前例而言: 当p = 4时, (低弹性), 此时降价使收益减少;提价使
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