投资学第6章.ppt
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1、投资学 第6章,投资理论(2):资产组合理论 与资本资产定价模型,投资学 第6章,2,6.1 概述,现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的投资组合选择为标志 1962年,Willian Sharpe对资产组合模型进行简化,提出了资本资产定价模型(Capital asset pricing model, CAPM) 1976年,Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定价模型(Arbitrage pricing theory,APT)。 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣,1965年,Eugene Fama
2、在其博士论文中提出了有效市场假说(Efficient market hypothesis,EMH),投资学 第6章,3,6.2 资产组合理论,基本假设 (1)投资者仅仅以期望收益率和方差(标准差)来评价资产组合(Portfolio) (2)投资者是不知足的和风险厌恶的,即投资者是理性的。 (3)投资者的投资为单一投资期,多期投资是单期投资的不断重复。 (4)投资者希望持有有效资产组合。,投资学 第6章,4,6.2.1 组合的可行集和有效集,可行集与有效集 可行集:资产组合的机会集合(Portfolio opportunity set),即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。 有效组合(Ef
3、ficient portfolio ):给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。 有效集( Efficient set) :又称为有效边界( Efficient frontier),它是有效组合的集合(点的连线)。,投资学 第6章,5,两种风险资产构成的组合的风险与收益,若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数,则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为,由此就构成了资产在给定条件下的可行集!,投资学 第6章,6,注意到两种资产的相关系数为1121 因此,分别在121和121时,可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底
4、部边界。 其他所有的可能情况,在这两个边界之中。,投资学 第6章,7,组合的风险收益二维表示,6.2.2 两种完全正相关资产的可行集,投资学 第6章,8,两种资产完全正相关,即12 1,则有,投资学 第6章,9,命题6.1:完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。 证明:由资产组合的计算公式可得,投资学 第6章,10,两种资产组合(完全正相关),当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线,该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集(假定不允许买空卖空)。,投资学 第6章,11,6.2.3 两种完全负相关资产的可行集,两种资产完全负相关,即12 =-1,则有,投资学 第6章,12,命题6.2:完
5、全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线,其截距相同,斜率异号。 证明:,投资学 第6章,13,投资学 第6章,14,两种证券完全负相关的图示,收益rp,风险p,投资学 第6章,15,6.2.4 两种不完全相关的风险资产的组合的可行集,投资学 第6章,16,总结:在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集,投资学 第6章,17,投资学 第6章,18,3种风险资产的组合二维表示,一般地,当资产数量增加时,要保证资产之间两两完全正(负)相关是不可能的,因此,一般假设两种资产之间是不完全相关(一般形态)。,投资学 第6章,19,类似于3种资产构成组合的算法,我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成
6、的组合的可行集。,n种风险资产的组合二维表示,投资学 第6章,20,总结:可行集的两个性质,在n种资产中,如果至少存在三项资产彼此不完全相关,则可行集合将是一个二维的实体区域 可行区域是向左侧凸出的 因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。 为什么?,投资学 第6章,21,收益rp,风险p,不可能的可行集,A,B,投资学 第6章,22,6.2.5 风险资产组合的有效集,在可行集中,有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价,会明显地优于另外一些投资组合,其特点是在同种风险水平的情况下,提供最大预期收益率;在同种收益水平的情况下,提供最小风险。我们把满足这两个条件(均方
7、准则)的资产组合,称之为有效资产组合; 由所有有效资产组合构成的集合,称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生,而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。,投资学 第6章,23,整个可行集中,G点为最左边的点,具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S(具有最大期望收益率),这一边界线GS即是有效集。例如:自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如,与可行集内其它点所对应的投资组合(如点)比较起来,在相同风险水平下,可以提供最大的预期收益率;而与点比较起来,在相同的收益水平下,点承担的风险又是最小的。,投资学 第6章,24,总 结,A、两
8、种资产的可行集 完全正相关是一条直线 完全负相关是两条直线 完全不相关是一条抛物线 其他情况是界于上述情况的曲线 B、两种资产的有效集 左上方的线 C、多个资产的有效边界 可行集:月牙型的区域 有效集:左上方的线,投资学 第6章,25,马克维茨的数学模型*,均值-方差(Mean-variance)模型是由哈里马克维茨等人于1952年建立的,其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合,投资者是理性的:害怕风险和收益多多益善。 因此,根据上一章的占优原则这可以转化为一个优化问题,即 (1)给定收益的条件下,风险最小化 (2)给定风险的条件下,收益最大化,投资学 第6章,26,投资学 第6章
9、,27,对于上述带有约束条件的优化问题,可以引入拉格朗日乘子和来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下,上式左右两边对wi求导数,令其一阶条件为0,得到方程组,投资学 第6章,28,和方程,投资学 第6章,29,这样共有n2方程,未知数为wi(i1,2,n)、和,共有n2个未知量,其解是存在的。 注意到上述的方程是线性方程组,可以通过线性代数加以解决。 例:假设三项不相关的资产,其均值分别为1,2,3,方差都为1,若要求三项资产构成的组合期望收益为2,求解最优的权重。,投资学 第6章,30,投资学 第6章,31,课外练习:假设三项不相关的资产。其均值分别为1,2,3,方差都为1,若要求三项资产
10、构成的组合期望收益为1,求解最优的权重。,由此得到组合的方差为,投资学 第6章,32,6.2.6 最优风险资产组合,由于假设投资者是风险厌恶的,因此,最优投资组合必定位于有效集边界上,其他非有效的组合可以首先被排除。 虽然投资者都是风险厌恶的,但程度有所不同,因此,最终从有效边界上挑选那一个资产组合,则取决于投资者的风险规避程度。 度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共同决定了最优的投资组合。,投资学 第6章,33,理性投资者对风险偏好程度的描述无差异曲线,同一条无差异曲线, 给投资者所提供的效用(即满足程度)是无差异的,无差异曲线向右上方倾斜, 高风险被其具有的高收益所弥补。对于每一个投
11、资者,无差异曲线位置越高,该曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。,不同理性投资者具有不同风险厌恶程度,投资学 第6章,35,最优组合的确定,最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点处。由G点可见,对于更害怕风险的投资者,他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。,投资学 第6章,36,资产组合理论的优点,首次对风险和收益进行精确的描述,解决对风险的衡量问题,使投资学从一个艺术迈向科学。 分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要,重要的是组合的风险。 从单个证券的分析,转向组合的分析,投资学 第6章,37,资产组合理论的缺点,当证券的数量较多时,计算量非常大
12、,使模型应用受到限制。 解的不稳定性。 重新配置的高成本。 因此,马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法,这就是CAPM。,投资学 第6章,38,6.3 资本资产定价模型(CAPM),资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model,CAPM)是由美国Stanford大学教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合理论基础上提出的一种证券投资理论。 CAPM解决了所有的人按照组合理论投资下,资产的收益与风险的问题。 CAPM 理论包括两个部分:资本市场线(CML)和证券市场线(SML)。,投资学 第6章,39,在6.2节中,我们讨论了由风险资产构成的组合,但未讨论资产中加
13、入无风险资产的情形。 假设无风险资产的具有正的期望收益,且其方差为0。 将无风险资产加入已经构成的风险资产组合(风险基金)中,形成了一个无风险资产+风险基金的新组合,则可以证明:新组合的有效前沿将是一条直线。,6.3.1 引子,投资学 第6章,40,命题6.3:一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。,一种风险资产与无风险资产构成的组合,其标准差是风险资产的权重与标准差的乘积。,投资学 第6章,42,收益rp,风险p,rf,不可行,非有效,投资学 第6章,43,加入无风险资产后的最优资产组合,风险,收益,无风险收益率rf,原组合 有效边界,M,F,新组合的 有效边界,投资学
14、第6章,44,6.3.2 分离定理,无论投资者的偏好如何,直线FM上的点就是最优投资组合,形象地,该直线将无差异曲线与风险资产组合的有效边界分离了。 分离定理(Separation theorem):投资者对风险的规避程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。 所有的投资者,无论他们的风险规避程度如何不同,都会将切点组合(风险组合)与无风险资产混合起来作为自己的最优风险组合。因此,无需先确知投资者偏好,就可以确定风险资产最优组合。 风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M,少投资无风险证券F,反之亦反。,投资学 第6章,45,分离定理对组合选择的启示,若市场是有效的,由分离定理,资产组合选
15、择问题可以分为两个独立的工作,即资本配置决策(Capital allocation decision)和资产选择决策(Asset allocation decision)。 资本配置决策:考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。 资产选择决策:在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。 由分离定理,基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下,确定最优的风险组合。,投资学 第6章,46,6.3.2 资本市场线的导出,一个具有非凡创意的假设! 假设市场中的每个投资者都是资产组合理论的有效应用者,人人都是理性的! 这些投资者对每个资产回报的均值、方差以及协方差具有相同的预期,但风险规避程度不同
16、。 根据分离定理,这些投资者将选择具有相同的结构的风险基金(风险资产组合)。投资者之间的差异仅仅体现在风险基金和无风险资产的投资比例上。,投资学 第6章,47,若市场处在均衡状态,即供给需求,且每一位投资者都购买相同的风险基金,则该风险基金应该是何种基金呢?(对这个问题的回答构成了CAPM的核心内容) 风险基金市场组合(Market portfolio):与整个市场上风险证券比例一致的资产组合。对股票市场而言,就是构造一个包括所有上市公司股票,且结构相同的基金(如指数基金)。 因为只有当风险基金等价与市场组合时,才能保证:(1)全体投资者购买的风险证券等于市场风险证券的总和市场均衡;(2)每个
17、人购买同一种风险基金分离定理。,投资学 第6章,48,在均衡状态下,资产组合(FM直线上的点)是市场组合M与无风险资产F构成的组合,因此,可以根据图形得到,投资学 第6章,50,CML是无风险资产与风险资产构成的组合的有效边界。 CML的截距被视为时间的报酬 CML的斜率就是单位风险溢价 在金融世界里,任何资产组合都不可能超越CML 。由于单个资产一般来说,并不是最优的资产组合,因此,单个资产也位于该直线的下方。,投资学 第6章,51,6.3.3 定价模型证券市场线(SML),CML将一项有效资产组合的期望收益率与其标准差联系起来,但它并未表明一项单独资产的期望收益率是如何与其自身的风险相联系
18、。 CAPM模型的最终目的是要对证券进行定价,因此,就由CML推导出SML。 命题6.4:若市场投资组合是有效的,则任一资产i的期望收益满足,投资学 第6章,52,证明:考虑持有权重w资产i,和权重(1- w)的市场组合m构成的一个新的资产组合,由组合计算公式有,证券i与m的组合构成的有效边界为im; im不可能穿越资本市场线; 当w=0时,曲线im的斜率等于资本市场线的斜率。,投资学 第6章,53,投资学 第6章,54,证券市场线(Security market line),投资学 第6章,55,方程以 为截距,以 为斜率。因为斜率是正的,所以 越高的证券,其期望回报率也越高。 称证券市场线
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