庞加莱猜想的提出和解决.ppt
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1、庞加莱猜想的提出和解决,四川师范大学数学与软件科学学院 张 红,什么是庞加莱猜想,庞加莱在1904年提出这一猜想的:“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻:一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面,而一个吹涨的气球则可以视为二维球面,二者之间的点存在着一一对应的关系,同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点,反之亦然。有趣的是,这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决,唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里,向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。,庞加莱(HenriPoincar) 法国数学家 “最后一位数学全才”,最
2、后一位数学全才庞加莱,在庞加莱留下的巨大科学遗产中,有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题,这就是困扰了数学家整整一个世纪的 “庞加莱猜想”,一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利庞加莱(Henri Poincare): “有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想,就是其中的一个。,猜想的简单比喻,想象这样一个房子,这个空间是一个球。或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子。 不
3、妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来,带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以(其实对这个气球是有要求的)。这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破。还要假设,这个气球的皮是无限薄的。 继续吹大这个气球,一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙。,庞加莱猜想的三维电脑模型,另一个简单比喻,如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以
4、既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点; 另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。 为什么?因为,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。,庞加莱猜想图示,庞加莱猜想七个“千禧难题”之一,七个千禧难题:2000年美国克莱数学研究所 1.NP完全问题, 2.霍奇猜想(Hodge), 3.黎曼假设(Riemann), 4.杨米尔斯理论(Yang-Mills), 5.纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes,简称NS方程), 6.BSD猜想(Birch and Swinnerton-Dyer)。
5、7.庞加莱猜想,解决庞加莱猜想的意义,假设你完全不知道地球的地理情况,你一次又一次派出远征的船队,这些船队接连发现新的大陆。直到已知大陆的数量增长到六块。可是你并不知道这是否就是地球上所有的大陆了。你继续派出船队,前前后后出征了几百次,但是他们没有再发现任何新的大陆。这时你提出一个猜想:地球上没有更多的大陆了。 这个猜想看起来很合理,但是它仍需要论证。这时,佩雷尔曼出现了,他用完美的严密方式向你和全世界证明,地球上确实没有更多的大陆了。 俄罗斯数学家米哈伊尔格罗莫夫 (MikhailGromov)的一个比方,解决庞加莱猜想的意义,“庞加莱猜想是拓扑和几何的主流,被国际上许多数学家所关注,并致力
6、于研究。破解和封顶的意义是十分深远的”。 “哥德巴赫猜想很重要,但是庞加莱猜想更重要,国内研究哥德巴赫猜想的人很多,但国际上很少,知道的人也很少。” 丘成桐,丘成桐,哈佛大学 教授,菲尔茨奖得主 。 研究领域:分析几何,解决庞加莱猜想的意义,“分析一个猜想或者难题重不重要,关键要看它的破解,会不会带动其他研究的发展。” 哥德巴赫猜想“很漂亮”,却是一个相对孤立的命题,就是破解也不会对其他研究产生太大推动作用。 丘成桐,解决庞加莱猜想的意义,哥德巴赫猜想是数论中的难题,但是并未被列入“七大世纪数学难题”。而在这七大难题之中,数论领域就有两个。“这至少说明,它不是数论领域最重要的难题。” “陈景润
7、的工作很重要,也做到了极致。但是和庞加莱猜想比起来,还是要弱一些。” 丘成桐,佩雷尔曼的出生与成长,佩雷尔曼1966年出生于苏联的一个犹太人家庭,他的母亲是大学里的数学教师。这似乎为他数学天分的发展提供了一个有利条件,但苏联社会中广泛存在反犹太主义也为佩雷尔曼的成长与生活构造了残酷的环境。 如何向孩子讲述生活的残酷,是常常会令家长头疼的问题。佩雷尔曼的母亲选择了一种特别的方式她把自己头脑中的正确世界当作真实的世界告诉年幼的佩雷尔曼。,佩雷尔曼,小佩雷尔曼生活在一个母亲帮助下建立起来的想象世界中,除了数学,几乎没有其他东西。,佩雷尔曼的特点,社会生活中模糊的变数是佩雷尔曼所难以理解的,这一点在他
8、年幼时就已经形成。 他的数学俱乐部老师鲁克辛(SergeyRukshin)每周会有两个晚上与佩雷尔曼同路乘火车回家。冬天的时候,佩雷尔曼会戴着一顶苏联样式的皮帽子,帽子在耳朵的部位有两块皮子,用绳子系紧之后能够防止耳朵受冻。鲁克辛发现,即便在温暖的车厢里,佩雷尔曼也从不解开绳子。“他不仅是不会摘掉帽子,”鲁克辛在一本书中说,“他甚至不会解开帽子的耳朵,他说不然的话妈妈会杀了他,因为妈妈说了,不要解开绳子,不然就会感冒。”,佩雷尔曼的特点,鲁克辛曾经批评佩雷尔曼读书不够多,他认为他的职责不单是教孩子们数学,还要包括文学和音乐。佩雷尔曼就问鲁克辛,为什么要读那些文学书。鲁克辛告诉他,因为这些书是“
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