曲线坐标及其变换关系.ppt
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1、,2、曲线坐标及其变换关系,O,在-平面上,任一点可表示为:,也可表示为:,其中,、为点的极坐标。,显然,在-平面上,=const 表示一圆周线,=const 代表一根径向线。,在 z-平面上,=const 表示一曲线,=const 表示另一曲线。,因此,、可视为z-平面上一点 z 处的曲线坐标。,由于变换的保角性, z-平面上的曲线坐标总是正交的。且坐标轴、的相对方向总是与坐标轴 x、y 的相对方向相同。,曲线坐标与直角坐标间的变换关系:,设 z-平面上有一矢量A,其起点在点,用Ax、Ay分别表示它在 x、y 轴上的投影,,用 、 分别表示它在 、轴上的投影。,设 轴与 x 轴成角,则有:,
2、将此向量用复数表示,有,(a),从而有,的计算:,假想沿方向给点 z 以位移 dz,因而对应点得到位移 , 于是有,(b),(a),于是式(a)可表示为:,(c), 曲线坐标与直角坐标中矢量的变换关系,3、一些基本函数与公式的变换,(5-19),(5-20),位移分量的变换,(5-21),(5-10),由,得,将上式代入式(5-21)得,位移矢量在曲线坐标、轴上的投影:,位移矢量在曲线坐标、轴上的投影:,(5-22),曲线坐标中位移分量的复变函数表示,应力分量的变换,表示弹性体在曲线坐标、中的应力分量。,由应力坐标变换式:,由此可得:,由应力分量的复变函数表示,有,由,(e),(f),将式(f
3、)代入(e),并利用式(5-20),有,(5-23), 曲线坐标中应力分量的复变函数表示,应力边界条件的变换,(5-12), 应力边界条件的复变函数表示,将式(5-19)、(5-20)代入,有,在边界上, =1,因而,引入记号:,上式可表示为:, 曲线坐标中应力边界条件的复变函数表示,其中记号:,小结:,平面问题复变函数求解公式小结:,(1)z-平面内求解:,(5-10),对无限大多连域问题:,(5-17),为m个内边界上 x、y 方向面力之和(主矢),(2) -平面内求解:, 由孔口的形状确定所用的保角变换, 曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示,5-8 孔口问题, 限于无限大弹性体单孔口
4、问题,1、保角变换函数的确定,基本思想:,把弹性体在 z -平面上所占的区域变换为-平面上的“中心单位圆”(即,圆心在坐标原点 =0,半径为 =1。),对无限大弹性体单孔口问题,变换函数的一般形式可取为,(5-24),其中,n 为正整数,R 为实数,ck 一般为复数,而,以确保 n 时,级数收敛。,2、复位势函数,(5-15),的讨论:,由于在单位圆内及圆周上,有,且,因而,有,无限大多连体问题的,展开级数,从而有, 的在圆内为单值的解析函数,的讨论,将其中各项作以上类似讨论,如,的在圆内为单值的解析函数,由此可见,,的所有各项都是的在圆内为单值的解析函数,将以上所得结果代入式(5-15),(
5、5-15),(5-25),(5-26),对圆内解析函数可表示为:,(5-27),(5-28),在中心单位圆内是的解析函数。,式中的常数项已删去,因为它不影响应力。,3、边界条件的变换,假定弹性体的全部边界为应力边界。,由边界条件的复变函数表示:,(5-12),将式(5-19)与(5-20)代入,有,在边界上, =1,因而,引入记号:,上式可表示为:,(b),将式(5-25)、(5-26)取边界值,有,(c),(d),将式(c)、(d)代入(b),并注意到,有,(e),引入记号:,(5-30),其边界条件及其共轭式可简写为:,(5-31),(5-32),说明:,(1),当孔口不受面力时,,此时,
6、常数,取决于距孔口很远处的主应力和应力主向,即,(2),当仅孔口受面力时,其应力分布是局部的,无穷远处应力应为零。即,可见, f0 总是已知的,或者可以求得的。,4、 的确定,两种常用Cauchy积分:,(1),设函数 F ()在单位圆之内是解析的,且在圆内及圆周上连续,则对圆内任一点都将有:,(5-33), 适用于有限大区域的Cauchy积分。,(2),设函数 F ()在单位圆之外是解析的,且在圆外及圆周上连续,则对圆内任一点都将有:,(5-34), 适用于无限大区域的Cauchy积分。,的确定,(5-31),将上式两边同乘以:,并沿整个孔边积分,有,(f),因为,在中心单位圆内解析,且在圆
7、内及圆周上连续,所以有,(g),又因为,为圆外解析,且圆外及圆周上连续,故有,(h),将式(g)、(h)代入式(f),有,(5-35),对式(5-32)作以上类似的讨论,,(5-32),将上式两边同乘以:,并沿整个孔边积分,有,(5-36),(5-35),即求得,再利用前面的公式可容易求得应力和位移。,无限大弹性体单孔口问题求解步骤小结:,(1),由孔口的形状,确定相应的保角变换:,(2),由式(5-30)求出,(5-30),(3),由式(5-35)、 (5-36)求出,(5-24),(4),由式(5-25)、 (5-26)求出,(5),由式(5-22)、 (5-23)求出,5-9 椭圆孔口,
8、1、保角变换函数的确定,其中:,实数R、m由椭圆的长半轴 a 与短半轴 b 决定。,或,(a),(b),将,代入式(a)两端,并分开实部与虚部,有,依次消去式中的、,得, z 平面内的椭圆方程,当 =1时,所对应椭圆的长半轴与短半轴为,说明:,(1),在平面上, 是以反时针转向为正,而在 z 平面上,是以顺时针转向为正。,(2),坐标原点=0对应于弹性体中距孔口无穷远处的各点。,2、 的求解,由式(a)可求得:,(a),代入式(5-35),有,(5-35),由式(5-27),可知,(c),由式(5-27),可知,代入上式,有,因为:,在单位圆外解析,且在圆内与圆周上连续,由无限大区域的Cauc
9、hy积分,可知,,上式中第二项积分为零。于是,有,(e),将式(c)代入式(5-36),,(5-36),因为,在单位圆内解析,且在圆内与圆周上连续,由有限区域的Cauchy积分,得,,代入式(e),得,,(d),(f),无限大弹性体椭圆孔口问题求解步骤:,(1),保角变换:,(a),(2),由式(5-30)求出,(5-30),(3),由式(d)(f)求出,(d),(f),(4),由式(5-25)、 (5-26)求出,其中,(5-17),(5),由式(5-22)、 (5-23)求出,(5-22),例:,设薄板或长柱与Ox 轴成角的方向受有均匀拉应力 q ,孔边不受面力,如图所示。试求其应力分量。
10、,解:,(1)求 f0(),由边界条件,可知,(g),由公式(5-17),有,代入式(5-31),有,(5-30),(h),(i),(2)求,由,(j),(f),(d),由,(k),(j),(k),将上两式及式(g)(h)代入式(5-25)、(5-26),,有:,(5-26),将 代入,并整理得,将 整理在一起,有,(l),(3)求应力分量,由,可求得:,将 代入式(5-20),求得,代入式(5-23),,(m),将,代入式(m),分开实部与虚部后,即可得出,的表达式。,在孔边,有,由式(m)得,将,代入,有,(n),(1),(即拉应力 q 平行于 x 轴),,由式(n)得出孔边的应力为,最大
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- 关 键 词:
- 曲线 坐标 及其 变换 关系
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