理论误差.ppt
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1、 2.1 理论误差,一、高斯(gauss)误差定律 随机误差 x 是随机变量,要求导出它的概率分布密度 f(x) 的表达式。 求导 f(x)。 设被测随机变量的真值为 X ,n 次观测中的测值为Mi (i = 1,2,n),则其相应的误差为 xi = Mi (相当于第一节中的xi),即:,误差x1在区间dx1内的概率为p1f(x1)dx1,误差x2在区间dx2内的概率为p2f(x2)dx2,误差xn在区间dxn内的概率为pnf(xn)dxn。 它的几何图形为:图21,第二章误差理论及数理统计,到2.4、方差分析法,图21 dx意义示意图,随机误差的四大分配率: (1)有界性 (2)单峰性 (3
2、)对称性 (4)可抵偿性,公式(22),说明:dx1, dx2, , dxn,是相当于误差x1, x2, , xn, 时的一个间隔区间显然dxi与真值X无关,但是误差xi与真值 X却是有关的,不同的X,xi不同; 由于xi = Mi ,则,各个误差xi之间是相互独立的。于是,所有误差同时出现的概率p按乘法定率为:,(22),概率p是真值X的函数。不同的X值,概率不同。 根据随机误差的分布规律性,概率大,所对应的误差小。因此,只有当同时出现的概率p为最大时,X才是最可信赖的值。 对式(22)先取对数,再求导,并令其为零,则有:,图21,公式(23、4),根据前面的说明和,则,各项均为零,,各项均
3、为1。,因而最终有,(23),按随机误差的抵偿性可知:,(24),由式(23)和(24)比较后,故可得到:,对误差x,则有:,积分后得:,根据随机误差的对称性可知,误差x增大,概率分布密度f(x)应减小,这样上式中的指数应为负数。令:,最后得:,(25),误差方程,遵守随机误差四大分配律的数学模型,返回,讨论和分析,(1)求常数c,故式(25)可以写成:,(26),高斯正态分布误差方程,误差落在某一区间(,)的概率为:,(27),令,公式(27a),代入上式得,(27a),式(27a)是无法积分的,但可以把它以泰勒级数展开后进行积分,积分后所得数据列于p197 附表1 标准正态分布表中供我们使
4、用时查询。,(2)h的物理意义,用图21加以说明。,(3)h与算术平均误差的关系,(4)h与标准误差的关系,当 时,标准偏差为:,图21 h的物理意义,因为,f (x)max ,由图可以看出,h大,小误差出现的概率大,测量精度高。称h为精密度指数。,标准误差与h的关系,在误差的正态分布曲线上,中部曲线下凹,而两端曲线上凹,因此,曲线必有拐点。已证明拐点的横坐标为。见图21”所示。,(4)精密度h与或然误差的关系,误差落在 范围内的概率为1/2。,归纳如下:, ,见图22所示,三者的关系,返回,返回,图21” 正态分布曲线的拐点,图22 或然误差,算术 平均误差及标准误差,所以工程实践中常采用标
5、准误差,因为这样更偏于安全。,(6)概率积分,通过积分可计算出,误差x落在 , , , 1.96, 2.58, 3 范围内的概率p,计算结果见下表所示:,当x落在3 范围内的概率p0.997。 落在3 范围之外的误差为系统误差或粗差。,二、等精度测量中的最可信赖值,1、算术平均值,等精度测量测量的全部条件都相同,它们的权相同。或者说标准差相同的测量。,设 为某测量的最佳值,测量值为xi,误差为 xi ,由高斯方程,可知各个误差产生的概率可由下式计算:,(i1n。),各个误差是相互独立的,它们都是 的函数,这些误差同时出现的概率为:,(28),如果 为最佳值,则 p 应为最大值,即 取得最小值:
6、,算术平均值,由,则,结论:在等精度测量中, 即为最可信赖值 代表真值。 与各观测值离差平方和最小。,2、有限观测次数中,标准误差的计算,设平均值为 ,观测值为xi,误差为,由推导可知:,(210),表示测量中约有68.3%的点落在 范围内, 反映了测量的精密性。这可以由图22加以说明。在式(28)中,当n很大时,可以认为算术平均值等于真值。,3、算术平均值 的误差 的计算,在一组等精度测量中,每次测量的标准误差,,,那么算术平均值 的误差,。由此可得,启示:对测量对象进行多次重复观测,所得结果的平均值(子样平均值)比单次测量结果要精确的多。,习题21,图22,三、不等精度测量中的最可信赖值,
7、1、加权平均值,试验中常常对同一物理量 a 作很多组的平行测量,以提高准确度。而每一组均有足够的测量次数,,ni越大,测量的准确度越大,对结果占更重要的地位。,用来表示测量值可信赖程度的数值称为权。因此求真值的最可信赖值,必须加上权的影响。,由高斯误差方程公式(25),可知h为精密度指数,在等精度测量中h相同,公式(28)变为:,(211),公式(212、11a),令,其中,mi代表各个量值的权数,h单位权数观测值的精度。,将式(212)代入(211),得:,(212),(211a),为最可信赖值,要使概率p取得最大值,即,取得最小值。,由,可解得:,返回,返回,公式(213、14),(213
8、),2、权数m与误差的关系,从(212)可知,hi2与mi成正比,故有:,h与、成反比关系:,(214),若m11,则,(214a),3、不等权观测值的标准误差及平均值的标准误差,对式(211a)取对数,对精密度指数 h 求导,使 p 得最大值,令该导数为零,则有:,(215),由h与的关系可知,不等权观测值的标准误差公式为:,(215a),上式表示的是当n时的标准误差,按同样的原理分析,可得有限观测次数的标准误差公式为:,公式(215b、16),(215b),平均值,的误差为:,(216),对有限观测次数,则:,(216a),四、误差的统计意义,以上讨论是通过有限的子样观测值来计算母体最可信
9、赖的平均值及其方差。这种由子样计算出来的特征量又称统计量,而统计量是随机变量,当子容量足够大时(一般 n 30),完全可以用子样的参数估计出母参数(称为点估计),子样平均值 可以代表母体平均值 a ,子样方差n-1可以代表母体方差,这统称为母体参数的无偏估值。 在数据处理中,只提出母体参数的无偏估值还是不够的,因为任何一种估计,如果不附以某种偏差范围及在此区间内包含参数 X 真值的可靠程度(或置信概率),是没有多大意义的。,设一组服从正态分布的数据 X ,子样容量为 n ,子样平均值为 ,标准误差为 。服从正态分布的随机变量可以表示为 ,,按正态概率积分表可查得:,此式的意义见图22b所示。,
10、上式中:,图22a 式,的说明,a或,或,或,或,四、误差的统计意义,由于子样平均值 本身也是一个随机变量,故区间 也应是随机的,则:,或,此两式的说明见图22a所示,称,为置信区间,,为置信区间的半长。68.3%为置信度,(置信概率),用 1 表示。 叫做显著性水平(或危险概率)。如图22c所示。,例1 某回转机械,在同一稳定工况下,反复测量其转速36次,实测数据(转速单位为转min)为。试给出测量结果以及转速在子样平均值 0.5 范围内的概率。,解:(1)计算子容量 n = 36 的子样平均值,图22c 置信度的意义,图22b 标准正态分布示意图,令,当 x = a 时,t = 0 ,当,
11、时,t = 1,标准正态分布: t N(0,1),第二章 例1,(2)计算有限次观测时的均方误差 n-1 (此为母体均方差的无偏估计),(3)得母体的分布为:XN(4751.9, 2.042),(4)得子样平均值的分布为:,(4)给定置信概率 1 = 0.95,即:,令,则得标准正态分布 t N ( 0, 1 ),第二章 例1,由 / 2 = (10.95)/2 = 0.025 ,(1 ) /20.975 查p197的标准正态概率分布表,得 t 1.96,(6)置信区间半长为:,(7)转速的测量结果4751.9 0.71 (1 )0.95,(8)计算转速在4751.9 0.5 范围内的概率。,
12、由 x 0.5 , 计算新变量,查正态分布表p197199得:, (1.47)= 0.9292, (1.47)= 0.0708,得置信度为 1 0.9290.70780.8584 由()= 0.5,根据对称性得: 1 2(0.9290.5)0.8584,总结与讨论,(1)当测量的数据个数 n 30 时,可称为大子样样本,一般采用正态分布检验。而实际测量中的子样一般都较小(小子样样本),这时的 n 一般只有3 5个。在这种情况下,其统计量不再服从正态分布,而服从类似的正态分布的 t 分布(这是下面要介绍的一个统计量)。,(2)计算公式归纳,见表21所示。,五、小子样误差的 t 分布,在小子样测量
13、中,试验数据有限,母体中的 是不能求得的。 未知,用子样平均值 来估计母体真值 a ,必须引入一个统计量 t ,它与 n 有关,与 无关。此时的统计量 t 有独特的分布规律 t 分布。,统计量 t 的定义为:,(218),t 分布的概率密度分布函数为:,习题22,表21 数据处理的主要公式,五、小子样误差的 t 分布,(219), t ,式中是伽玛函数:,f n1 叫做自由度,子容量为 n 时,在 n 个重复观测数据之间,它们要受到子样平均值的约束,所以 n 个数据有一个是不独立的。 n 1 可个独立变化。,t 分布的概率分布图形如图 23 所示,t 分布的概率积分为:,此式表明,在 n 次测
14、量中,t大于tp值的概率p,具体数值可查P202的附表3。,图23 t分布曲线与正态分布曲线,当自由度 f 很小时,t 分布的中心值较小,分散度大,如果用正态分布对小子样进行估计,则结果可能有存伪的错误。故 t 分布主要用于小子样测量中的估计和推断。当子容量大于30后,t 分布趋近于正态分布。,五、小子样误差的 t 分布,对正态分布,有 3 作为极限误差范围的半长,其置信概率 1 0.9973。但是对小子样测量,其实际置信概率1 将随自由度 f = n 1的减小而减小,列表如下所示:,五、测量中的坏值及剔除,第二章 习 题,21、证明 22、根据 p25 例 1 ,求当0.01时置信区间半长;
15、转速平均值 在 1 范围内的概率。要求写明计算及查表过程。 23、当置信区间半长为 2 时, 求自由度 f = 3 的 t 分布和 n 时正态分布的置信概率 1 ? 24、由测量得某空心圆柱的外径 R = 3.600 0.004cm,内径 r = 2.880 0.004cm,高 h = 2.575 0.004cm。测量体积V及它的绝 对误差和相对误差?(见右图所示),六、测量中的坏值及剔除,在实际测量中,偶然误差是客观存在的,测量数据总是存在一定的离散性。但也有可能由于过失误差出现个别离散较远的数据,这些数据称为坏值或可疑值。如果保留了这些数据,必然影响测量结果的正确性。反过来,如果把属于偶然
16、误差的个别数据当作坏值来处理,也许暂时可以报告出一个精确度较高的结果,但这是虚伪的,不科学的。正确区分坏值并剔除它这是试验中经常遇到的严肃的实际问题,必须以科学的态度按统计学的原理来处理。,判别坏值的方法: 物理判别法,在测量过程中及时发现、纠正仪表、人员及试验条件等情况的变化造成的错误; 统计判别法,规定一个误差范围( k )其置信度为 1 ,超出认为是坏值 剔除。 k 值的求法:,1、拉伊特方法,按正态分布理论,以最大误差范围3为依据进行判断,置信度为 1 0.9973。,设一组测量值 xi,其子样平均值 ,偏差i xi ,由正态统计计算出:,六、测量中的坏值及剔除,如果,某测量值 xl(
17、1ln)的偏差xl 3n1,则认为 xl是含有粗差的坏值 剔除。,该方法简单方便,不需查表,但对小子样(n 10时)不准确。在一些要求较严格的场合,也用2n1来判断,但n 5时不准确。,2、肖维勒方法,在 n 次测量中,坏值出现的次数为1/2次,即坏值出现的概率为1/2n。按概率积分:,(220),六、测量中的坏值及剔除,由不同的 n 可计算出,之值,查概率积分表后便可求出k,见p29表22所示。由测量数据个数 n ,查表22得系数k ,判断: 如果,某测量值 xl(1ln)的偏差xl kn1,则认为 xl是含有粗差的坏值 剔除。,3、格拉布斯方法,用显著性水平来计算k,当i kn1的概率称为
18、显著性水平 p( i kn1),这样式(220)变为:,1(t) , (t) ,(221),(221a),绝大多数场合, 取0.01或0.05,精度高取0.01。k由观测次数n和所决定, k( n,)值列于p30表23中。一组观测值中的离差 i k( n,) n1者为坏值 剔除。,注意:上述方法, 计算 和n1 时,包括所有数据。 剔除坏值后,用剩余数据重新计算 和n1 。,六、测量中的坏值及剔除,4、狄克逊法,在n次测量中,各数据依大小顺序排列: x1 x2 xn,按p31表24中的公式计算出系数 f0 ,当 f0 f (,n)时,测量值为坏值 剔除。,5、t 检验方法,以t分布为出发点,先
19、暂时去掉可疑的坏值xl,剩余值计算 和n1,当: xl k( ,n )n1时,证明xl为坏值 剔除。,计算时注意:,k( ,n )值列于P32表25中。,七、系统误差的分类及消除,固定系统误差在整个测量过程中,始终存在着一个固定不变的偏差。 变化系统误差偏差经常变化。,消除系统误差可以从三个方面入手:,(1)改进或选用适宜的测量方法来消除;,1、系统误差的分类,(2)用修正值来消除测量中的系统误差;,(3)在测量过程中随时消除产生系统误差的原因。,2、固定系统误差消除的方法,(1)交换抵消法 以天平测重为例说明如下(图24)。,(2)替代消除法 首先用一已知中间量T与被测量X平衡(如图24(a
20、)所示,然后再用砝码替代X再称一次。对比这两次的测量,便可消除由天平不等臂引起的固定系统误差。,图24 交换抵消法示意图,七、系统误差的分类及消除,3、变化系统误差的消除方法,对呈线性变化的累进系统误差,用对称测量来消除。,如图25所示:,对于呈周期性变化的系统误差,可用半周期偶数测量法消除。 设周期性误差可表示成:,式中:T误差变化周期; t决定周期误差的一个自变量(如时间、角度等); a周期变化系统误差的最大值。,则当t = t0 时, ,当 时, 由于相隔 的两次测量产生的系统误差0与T/2大小相等符号相反,故t0 和 时值的平均值已不再包含有此项系统误差了。,例子如图26所示:,图25
21、 对称测量法测量电阻的原理图,Rx为被测电阻,R0是已知电阻(标准值),用电位计分别测Rx和R0两端的电压降以求Rx。 t1时,测Ux.1=I1Rx t2时,测U0.2=I2R0 t3时,测Ux.3=I3Rx t1、 t2时所测结果算术平均,得:,因为电流呈线性变化,时间间隔相等,故 ,把此结果与t2时的测量结果相除便得:,图26 周期性系统误差的消除,如图所示的秒表。由于制造或装配上的偏差,秒表中心有一偏心,从而引起了周期性的系统误差。按半周期偶数测量法的原理,可在表盘的外圈按相差半个周期再刻一圈指示数,同时在指针的反方向再装一指针,这时把内外圈指示数取平均值即消除了周期系统误差。 如图所示
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