欧拉积分.ppt
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1、3 欧拉积分,含参量积分:,称为格马 (Gamma) 函数(写作函数).,它们在应用中经常出现,统称为欧拉积分,,称为贝塔 (Beta) 函数(写作B函数).,下面分别讨论这两个函数的性质.,函数 函数 函数与函数之间的关系,1. 积分区间为无穷;,一、函数,特点:,函数,2. 当 s - 1 0 时,x = 0 为瑕点;,写函数为如下两个积分之和:,其中,当 s 1 时,为正常积分,当 0 s 1时收敛.,对任何实数 s ,都是收敛的,特别当 s 0 时收敛.,所以函数,在 s 0 时收敛.,即函数的定义域为 s 0,1. 函数在定义域 s 0 内连续且可导,2. 递推公式,3. 函数图象的
2、讨论,函数的性质,4. 延拓,5.,的其他形式,令 x = y2 , 有,令 x = py , 就有,三、 函数,1. 定义,下面证明这个特殊函数在,内收敛 .,令,综上所述 ,2. 性质,(1) 递推公式,证:,(分部积分),注意到:,(2),证:,(3) 余元公式:,(证明略),(4),得应用中常见的积分,这表明左端的积分可用 函数来计算.,例如,二、 函数,当 p 1 时,I (p, q) 为正常积分,当 0 p 1时收敛.,当 q 1 时,J (p, q) 为正常积分,当 0 q 1时收敛.,所以,当 p 0 , q 0 时, B(p, q) 收敛.,即B(p, q)函数的定义域为 p 0 , q 0,1. B( p, q )在定义域 p 0, q 0 内连续,2. 对称性:B( p, q ) = B( q, p ),3. 递推公式,B( p, q )函数的性质,4. B( p, q ) 的其他形式,令,则有,令,则有,令,则有,三、函数与函数之间的关系,例,计算,解,例,计算,解,
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