让抽象变得自然线性代数精彩案例.ppt
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1、让抽象变得自然 线性代数精彩案例,李尚志 北京航空航天大学,润物细无声:应用案例 子空间概念的应用,4 阶幻方构造法,4 x + 同加1,随风潜入夜:概念的引入,方程个数的真与假 方程组 有几个方程? 3个? 2个?,某个方程是其余方程的线性组合 线性相关,方程组线性相关 有多余的方程(是其余方程的线性组合) 删去多余的方程 - 打假 将打假进行到底 极大线性无关组 剩下的方程的个数- 秩rank,极大线性无关组,秩,二元一次方程组的几何意义,行列式的定义,方程组,可写成向量形式,即,1. 有唯一解的条件,不共线,即,2. 消元: 方程(1.1)两边与,(1.1),作内积消去y, 得,其中,就
2、是,同理得,图2,因此,于是,3. 二阶行列式 平行四边形面积,称为二阶行列式, 记作,是平行四边形 OAPB 的有向面积,是两个向量,或,的函数,计算公式:,或,图2,4. 代数算法,可写成,其中,三阶行列式与体积,1. 三元一次方程组的几何意义,两边同时与,方程,作内积消去 y, z , 得到,类似地可以得到 y, z 的表达式。,当,时得,从原点O出发作有向线段OA,OB,OC使,则,就是以OA,OB,OC为棱的平行六面,体的有向体积。称为三阶行列式,记作,2. 三阶行列式 平行六面体体积,利用基本性质计算 n 阶行列式,(3.1),当 i1,i2,in 中有两个相等时,,这样的项可以从
3、 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和,成为:,将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地,行列式 中的 互换了位置,其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12n), 相应地将 变成,(3.2),以下只须对每个排列 求,可以证明, 的值由排列 唯一决定, 我们将 记为 sgn 。则,sgn,代入(3.3) 得到,(3.3),于是得,这可以作为 n 阶行列式的定义。,(3.4),线性代数,空间为体, 矩阵为用 研究对象
4、-几何:线性空间(向量) 研究工具-代数:矩阵运算 向量 (问题) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答) 与微积分的关系: 非线性 -微积分 线性 -线性代数,微积分中的代数模型,物理: 以匀速代变速 几何: 以直代曲 代数: 以线性代非线性,线性化-微分与导数,y = f(x) 在a的微分: Dy= f(x)-f(a) 线性函数 dy = kDx 误差 q = Dy-dy 是 Dx = x-a 的高阶无穷小. 导数 f (a) = 一次项系数 k . 一次函数逼近 f(x) f(a) +f(a)(x-a) 误差集合 o(Dx) :Dx 的高阶无穷小 非零作零貌似零: q+q = q, q
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