协方差相关系数和矩.ppt
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1、,4.3 协方差、相关系数和矩,一、协方差和相关系数的概念 对于二维随机变量 ,除了关心它的各个分 量的数学期望和方差外,还需要知道这两个分量之 间的相互关系,这种关系无法从各个分量的期望和 方差来说明,这就需要引进描述这两个分量之间相 互关系的数字特征协方差及相关系数,但如何 来刻画这种关系呢? 由(4-17)知,若 相互独立,则 ; 若 ,则表示X与Y不独立,X与Y之间 存在着一定的关系.据此,我们引入下列定义,定义4.6 设 是二维随机变量, 则称 为X与Y的协方差(Covariance),记为 或 , 即 (420) 若 且 ,则称 (421) 为X与Y的相关系数(Correlatio
2、n Coefficient) 是 有量纲的量,而 则是无量纲的量 协方差常用下列公式计算 事实上,,定理4.1 (柯西许瓦兹(CauchySchwarz)不等式) (X,Y)为二维随机变量,若 和 存在,则 (428) 证明 因为 , 所以 存在. 另一方面,对 任意 ,二次三项式 , (429) 可见上述关于的二次三项式不可能有两个不同的实根, 因而判别式 即有 定理4.2 设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的相关系 数 存在,则 (1) (430) (2) 的充要条件是存在常数 使 ,证明 (1) 由定理4.1知 , 因此 , 即 ,所以 (2)我们略去结论(2)的充分性证明,这里只给出
3、必要 性的证明: 将二次三项式(429)中的X和Y分别换为 和 则对任意 ,有 , 即 . 特别地,当 等于二次三项式的最小值点 时,上 式变为,由于 ,故 . 根据方差性质4,有 即 于是, 存在常数 和 使 显然,利用(431)亦可证(430)的结论成立. 不过, 给出(431)的主要目的还在于证明结论(2)的必要性. 定理4.2表明:X与Y的相关系数是衡量X与Y之间线性相关 程度的量当 时,X与Y依概率1线性相关;特别当 时,Y随X的增大而线性增大,此时称X与Y线性正相关 (Positive Correlation);当 时,Y随X的增大而线性地减 小,此时称X与Y线性负相关(Negat
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- 协方差 相关系数
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