五代数方程的求解课件.ppt
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1、1,(五) 代数方程的求解,5.1 代数方程系统 5.2 直接法 5.3 主要迭代法 5.4 其他迭代方法,2,5.1 代数方程系统,有限差分(体积)离散格式提供一个网格点(单元)的代数方程, 以线性代数方程为例: P点和周围邻居点构成计算模板(比差分基架还大) 计算模板(计算分子;解元SE),3,5.1 代数方程系统: 计算模板,2D 2阶模板,2D 3阶模板,3D 2阶模板,4,5.1 代数方程系统: 整体方程系统,流场中每一点都有一个方程(小组), 整个计算域就有一个大型稀疏方程系统,5,5.1 代数方程系统: 系数矩阵的存储,只存储非零的对角元素 2维5点格式: 5 Ni *Nj 3维
2、7点格式: 7 Ni *Nj*Nk Al,l-Nj=W Al,l-1 =S Al,l =P Al,l+1 =N Al,l+Nj=E,6,5.2 直接法,5.2.1 Gauss elimination 5.2.2 LU decomposition 5.2.3 Tridiagonal system 5.2.4 Cyclic reduction,7,5.2.1 Gauss Elimination,By backward substitution, we have,from,Require O(n3/3) arithmetic operation Backward substitution O(n2/
3、2) Pivoting Rarely used in CFD,forward elimination,8,5.2.2 LU decomposition,where,let,then,Require O(2n2) arithmetic operation Basis of other iterative methods,9,5.2.3 Tridiagonal system (TDMA),*,Gives upper bi-diagonal matrix. By backward substitution, we get,elimination:,*,*,*,10,5.2.3 Tridiagonal
4、 system:块三对角方程组,11,5.2.3 Tridiagonal system (cont),计算量 O (n) 周期三对角方程组 三对角方程组的并行化解法 cyclic reduction, recursive doubling, SPP 五对角方程组(类似三对角),12,5.3 迭代法,5.3.1 基本概念 5.3.2 收敛速度 5.3.3 一些基本方法 5.3.4 不完全LU 分解方法 5.3.5 ADI 和其他分裂方法 5.3.6 Conjugate gradient methods 5.3.7 Bi-conjugate gradients,CGSTAB, GMRES 5.3.
5、8 Multigrid methods,13,迭代误差,迭代解的收敛:,Matrix A is sparse,设n次迭代的近似解为 , 不满足上述方程,带入上述方程后有残量 :,5.3.1 基本概念,实际计算中:,14,5.3.2 收敛性,Consider an iterative scheme for a linear system,上两式相减,或,M称为迭代矩阵,15,设特征向量完备,则,is the largest eigenvalue,迭代次数:,5.3.2 收敛性(续),趋于零的充要条件:,16,5.3.2 收敛性:收敛速度,17,Jacobi method:,Gauss-Seide
6、l Method:,Successive Over-relaxation (SOR if w1): Useful for solving linear systems occurring in certain PDEs,For positive definite matrix, the SOR converges for,Converge slow,2 times as fast as Jacobi,5.3.3 一些基本迭代方法,18,GS 和SOR的一般形式,19,GS迭代法的应用:LU-SGS,奇次迭代步从左下角开始,偶次迭代步就从右上角开始,20,GS迭代法的应用:线-SGS,21,GS
7、迭代法的应用:并行的Red-black,22,5.3.4 不完全LU 分解方法 (ILU) 在PDE中的应用:SIP方法,LU method是通用方法,但没有利用原矩阵的稀疏性质; ILU: 非精确分解,i.e. M=LU =A+N; 在ILU中,如果迭代矩阵M尽量接近原矩阵A,则收敛快. ILU method for CFD is Strongly Implicit Procedure (SIP),by Stone,.,N 含有 两个对角线的非零元素,而在 A却为零. M中的元素由矩阵相乘得出:M=LU,专用的2D五点格式:,L,M=A+N,U,23,Standard ILU:,收敛慢!,2
8、4,Stone (1968):SIP,N在7条对角线都可以有元素 N和向量相的结果尽量接近零,N* :,要求:,25,SIP: (cont),带入 (5.39),并等于(5.38),可以得到N的所有元素,并令M=A+N,可得到SIP的LU. (5.40)仅对PDE的点离散格式有效。 SIP求解用更新变量: SIP求解由L-sweep和U-sweep组成 收敛所用迭代次数少,但计算L和U的工作量大,总体效率较高 3D 七对角线和2D 九对角线(九点格式)的程序见Peric书附件。,26,5.3.5 ADI 和其他分裂方法,主要解对多维抛物型方程,也可以解拟时间的抛物型方程- 椭圆形方程,Cran
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