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1、对 数 函 数,一、复习:,1、对数的概念:,2、指数函数的定义:,如果a b = N ,那么数b叫做以a为底N的对数,记作 log a Nb(a0,a1),函数 y = ax ( a 0, 且 a 1 ) 叫做指数函数,其中 x是自变量.函数的定义域是 R.,回忆学习指数函数时用的实例,细胞分裂问题:细胞的个数y是分裂次数x的函数:y = 2 x;,即细胞分裂的次数x也是细胞个数y的函数,如果用x表示自变量,y表示函数,这个函数就是: y=log 2 x,由对数的定义,这个函数可以写成对数的形式: x =log 2 y,,函数 y = loga x (a0,且a 1 ),叫做对数函数.其中
2、x是自变量,函数 的定义域是( 0 , +),对数函数的定义:,作法一: 用描点法 作函数y=log2x和y=log0.5x 的图象,ylog2x,问题: 作出函数 y log 2 x 和函数 的图像.,两个对数函数 的图象特征 和性质的分析,x,y,0,1,y = log2x,y=log 0.5 x,图象特征 函数性质,图像都在 y 轴右侧,图像都经过 (1,0) 点,1 的对数是 0,当底数a1时; x1 , 则logax0 0x1 ,则 logax0 当底数0a1时; x1 , 则logax0 0x1 ,则logax0,图像在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左边的纵坐
3、标都小于0; 图像则正好相反,自左向右看, 图像逐渐上升 图像逐渐下降,当a1时, ylogax在(0,+)是增函数 当0a1时, ylogax在(0,+)是减函数,定义域是( 0,),对数函数y=log a x (a0, a1),(4) 01时, y0,(4) 00; x1时, y0,(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0,(1) 定义域: (0,+),(2) 值域:R,x,y,o,(1, 0),x,y,o,(1, 0),(5)在(0,+)上是减函数,(5) 在(0,+)上是增函数,对数函数的图象和性质,例一:求下列函数的定义域:,(1) y=logax2 (2) y=loga(4
4、-x),解:,(1)要使函数有意义,则x20, 所以x, 即函数y=logax2的定义域为 :,- (0,+,(2)要使函数有意义, 则4-x0,所以x4, 即函数y=loga(4-x)的定义域为:,(-4),(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=log0.5(4x-3),3-x0 x-10 x-1,所以 1x3,x2,即函数y=log(x-1)(3-x)的定义域为:,(1,2),4x-30 log0.5(4x-3)0,x3/4 4x-3,函数的定义域为:,(3/4,1,(3)要使函数有意义,则,(4)要使函数有意义,则,例1 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23
5、.4 , log 28.5 log 0.31.8 , log 0.32.7 log a5.1 , log a5.9 ( a0 , a1 ),解 考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数21, 所以它在(0,+)上是增函数,于是 log 23.4log 28.5,考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数0.3, 即00.31,所以它在(0,+)上是减函数,于是 log 0.31.8log 0.32.7,解:当a1时,函数y=log ax在(0,+)上是增函数,于是 log a5.1log a5.9 当0a1时,函数y=log ax在(0,+)上是减函数,于是 log a5.
6、1log a5.9, log a5.1 , log a5.9 ( a0 , a1 ),注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时, 要 分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.,分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:,练习1: 比较下列各题中两个值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.51.6 log1.51.4,练习2: 已知下列不等式,比较正数m,n 的大小: (1) log
7、3 m log 0.3 n (3) log a m log a n (a1),答案: (1) m n,(2) m n,(3) m n,(4) m n,例2 比较下列各组中两个值的大小: log 67 , log 7 6 ; log 3 , log 2 0.8 .,解: log67log661 log76log771 log67log76, log3log310 log20.8log210 log3log20.8,注: 例2是利用对数函数的单调性比较两个对数的大 小. 当不能直接进行比较时, 可在两个对数中间插入一 个已知数 ( 如1或0等 ) , 间接比较上述两个对数的大小,分析 : (1)
8、log aa1,(2) log a10,练习3: 将0.32,log20.5,log0.51.5由小到大 排列,顺序是:,log20.5 log0.51.50.32,小 结,对数函数的图象和性质,比较两个对数值的大小,对数函数的定义,对数函数y=log a x (a0, a1),指数函数y=ax (a0,a1),(4) a1时, x0,y1,01;x0,0y1,(4) a1时,01,y0,00; x1,y0,(5) a1时, 在R上是增函数; 0a1时,在R上是减函数,(5) a1时,在(0,+)是增函数; 0a1时,在(0,+)是减函数,(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1,(3)
9、过点(1,0), 即x=1 时, y=0,(2)值域:(0,+),(1)定义域:R,(1)定义域: (0,+),(2)值域:R,y=ax (a1),y=ax (0a1),x,y,o,1,y=logax (a1),y=logax (0a1),x,y,o,1,指数函数、对数函数的图象和性质,若底数为同一常数,则可由对数函数 的单调性直接进行判断,若底数为同一字母,则按对数函数的 单调性对底数进行分类讨论,若底数、真数都不相同,则常借助1、 0、1等中间量进行比较.,(例1 (1),(2),(例1(3),( 例2 ),作 业,1、熟记对数函数 的图象和性质 2、P83.习题A组7和8,从 y ax 可得:x logay , 对于(0,+)的任何一个y值, 都有唯一一个x与之对应, 也就是说y可以看成是自变量,因此x是y的函数, 这时我们称x logay 是函数y ax 的反函数。,因此函数 y ax 的反函数是:ylog ax ( a 0 ,且 a 1 ),习惯上用x表示自变量,y表示函数, 这时我们对调x与y,把x logay 改成y logax ,对数函数和指数函数 互为反函数,【课外探究:互为反函数的两个函数图像关于直线 yx 对称】,yx,yx,y 2x,ylog2x,再 见,
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