微分中值定理论文.doc
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1、分类号 编 号 2012010123 毕业论文题 目 微分中值定理及其应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 史秀峰 专 业 数学与应用数学 学 号 281010123 研究类型 理论综述 指导教师 刘开生 提交日期 20120424 原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名: 年 月 日 论文指导教师签名:微分中值定理及其应用史秀峰(天水师范学院 数学与
2、统计学院 甘肃 天水 741000)摘 要:微分中值定理是微分学的基础定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁,在高等数学中占有核心位置.本文总结和归纳了微分中值定理在数学分析中的应用.关键字:微分中值定理;应用Differential mean value theorem and its applicationShi Xiu feng(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui,Gansu,741000)Abstract: Differential mean value theorem i
3、s the differential of the fundamental theorem of algebra, higher mathematics is part of the core content. Mathematical analysis application. Key words: application of differential mean value theorem目 录1.引言12.微分中值定理12.1微分中值定理的内在联系12.2微分中值定理在证明中辅助函数的构造方法22.2.1几何法22.2.2倒推法33.微分中值定理的应用43.1讨论导函数零点的存在性及个数
4、估计43.2函数性态的研究53.3不等式的证明63.4证明恒等式及等式73.5求极限73.6求近似值83.7讨论级数的敛散性94.结语9参考文献10微分中值定理及其应用1.引言我们知道,微分学是数学分析中的重要组成部分,而微分中值定理作为微分学的核心,是沟通导数和函数值之间的桥梁,是研究函数在某个区间的整体性质的有力且工具.它包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.本文论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等7个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解.2.微分中值定理2.1微分中值定理的内在联系我们知道,罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理.它
5、们之间有着密切的联系,拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,它们之间的具体关系我们可以用下面的例题来将它们联系起来.例1 设f(x),g(x),(x)在 内可导,试证存在使得=0证 记= 则在上连续,在内可导,应用罗尔定理可知,使得,据行列式性质 证毕,特别地 若令就可得罗尔定理的结论:=0; 若令,可以得到拉格朗日中值定理 若令,则有,从而可得柯西定理:通过上面的例题,我们很好地利用了辅助函数的构造法,引出了三个中值定理之间的关系:罗尔定理是微分中值定理的基础,而拉格朗日中值定理则是微分中值定理的核心.拉格朗日中值定理添加条件,则变成为罗尔定理.反之,如果罗
6、尔定理中放弃条件,则推广为拉格朗日定理;同样,若令,则柯西中值定理就变成为是拉格朗日中值定理.从而柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理在表达形式上的推广.2.2微分中值定理在证明中辅助函数的构造方法在上面的例题中,我们构造了一个新的函数来说明中值定理之间的联系.实际上,构造性方法是高等数学中的一个重要的分析技巧,而证明微分中值定理的关键是辅助函数的构造,这对我们学生来说并非易事.其中罗尔定理的证明比较直观,学生易于接受,其中拉格朗日中值定理与柯西中值定理的证明关键是如何根据已知条件构造出一个新的函数以降低证明的难度.下面我主要从两种方法来介绍辅助函数的构造. 2.2.1几何法在拉格朗日中值定理的
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