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1、第3课时 圆的方程,1圆的定义 (1)在平面内,到定点的距离等于 的点的集合叫做圆 (2)确定一个圆的要素是 和 ,基础知识梳理,定长,半径,圆心,2圆的方程,基础知识梳理,(xa)2(yb)2,r2(r0),x2y2DxEyF0,方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是什么? 【思考提示】 充要条件是D2E24F0.,基础知识梳理,思考?,1方程a2x2(a2)y22axa0表示圆,则( ) Aa1 Ba2 Ca1或2 Da1 答案:A,三基能力强化,2(2009年高考重庆卷改编)圆心在x轴上,半径为1,且过点(2,1)的圆的方程是( ) Ay2(x2)21 Bx2(y2)21 C(x1)
2、2(y3)21 Dx2(y3)21 答案:A,三基能力强化,Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0 Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0 答案:C,三基能力强化,4(教材习题改编)以直线3x4y120夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是_ 答案:x2y24x3y0,三基能力强化,5若圆x2y2(a21)x2aya0关于直线xy10对称,则实数a_. 答案:3,三基能力强化,在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点: (1)确定圆的方程首先明确是标准方程还是一般方程 (2)根据几何关系(如题中的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F. (3)待定系数法的应用,解答中要尽
3、量减少未知量的个数,课堂互动讲练,课堂互动讲练,根据下列条件求圆的方程 (1)经过坐标原点和点P(1,1),并且圆心在直线2x3y10上; (2)已知一圆过P(4,2)、Q(1,3)两点,,【思路点拨】 设出圆的标准方程或一般方程,利用待定系数法求解,关键是用好所给三个独立条件,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48, 解、组成的方程组,得 D2,E0,F12或D10,E8,F4, 故所求圆的方程为 x2y22x120或x2y210x8y40.,课堂互动讲练,【名师点评】 一般地,已知圆心或半径的条件,选用圆的标准式方程,否则选用一般式
4、方程另外,还有几何法可以用来求圆的方程要充分利用圆的有关几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径、弦心距、弦长的一半构成勾股关系”等,课堂互动讲练,求轨迹方程的大致步骤: (1)建立平面直角坐标系,设出动点坐标; (2)确定动点满足的几何等式,并用坐标表示; (3)化简得方程,一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,如有特殊情况,可适当予以说明,即删去增加的解或补上失去的解,课堂互动讲练,课堂互动讲练,设定点M(3,4),动点N在圆x2y24上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹,【思路点拨】 先设出P点、N点坐标,根据平行四边形对角线互相平分,用P点坐标表
5、示N点坐标,代入圆的方程可求,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【规律小结】 解决轨迹问题,应注意以下几点: (1)求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标,就无需建系),否则曲线就不可转化为方程 (2)一般地,设点时,将动点坐标设为(x,y),其他与此相关的点设为(x0,y0)等 (3)求轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形,课堂互动讲练,求与圆有关的最值问题多采用几何法,就是利用一些代数式的几何意义进行转,课堂互动讲练,为动直线斜率的最值问题;(2)形如taxby的最值问题,可转化为直线在y轴上的截距的最值问题;(3)形如m
6、(xa)2(yb)2的最值问题,可转化为两点间的距离平方的最值问题,课堂互动讲练,课堂互动讲练,已知实数x、y满足方程x2y24x10. (2)求yx的最大值和最小值; (3)求x2y2的最大值和最小值,【思路点拨】,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(2)x2y可看作是直线x2yb在x轴上的截距,当直线与圆相切时,b取得最大值或最小值,课堂互动讲练,在解决有关的实际问题时,关键
7、要明确题意,掌握建立数学基本模型的方法,将实际问题转化为数学问题解决,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分12分) 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍已知A、B两地距离为10公里,顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较,课堂互动讲练,低求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时,点P所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点?,【思路点拨】 根据条件,建立适当坐标系,求出点P的轨迹方程,进而解决相关问题,课堂互动讲练,【解】 如图,以A、
8、B所在的直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,,|AB|10, A(5,0),B(5,0).2分 设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里) 当由P地到A、B两地购物总费用相等时,,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【名师点评】 在解决实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决,课堂互动讲练,(本题满分12分)设有一个半径为3 km的圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A出村后不久,改变前进方向,沿着切于村落边界的方向前进,后来恰好与B相遇设A、B两人的速度都一定,其比为31,问两人在何处
9、相遇?,课堂互动讲练,高考检阅,解:以村落中心为原点,A、B开始前进方向为x轴、y轴建立直角坐标系 设A、B两人速度分别为3v km/h,v km/h.设A出发x0小时后,在点P处改变前进方向,又经y0小时在点Q处与B相遇,则P、Q两点的坐标分别是(3vx0,0),(0,v(x0y0). 4分,课堂互动讲练,如图,|OP|2|OQ|2|PQ|2, (3vx0)2v(x0y0)2(3vy0)2. 化简得(x0y0)(5x04y0)0. 6分 又x0y00,5x04y0. ,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为:,规律方法总结,(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2; (2)根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组; (3)解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去就得到所求圆的方程,规律方法总结,2形如Ax2BxyCy2DxEyF0的方程表示圆的充要条件 (1)x2和y2项的系数相同,且不等于0,即AC0; (2)没有xy项,即B0;,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
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