图像变换.ppt
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1、医学图像变换(image transforms),为了有效地和快速地对图像进行处理和分析,常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另一些空间,并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工,最后在转换回图像空间以得到所需的效果。这些转换方法就是我们本讲要介绍的图像变换技术。,傅里叶变换 离散余弦变换 小波变换,医学图像变换,图像变换的作用,图像变换的定义 是将图像从空间域变换到其它域(如频域)的数学变换。 图像变换的作用 使图像处理问题简化; 有利于图像特征提取; 有助于从概念上增强对图像信息的理解。,图像变换广泛应用在图像增强、图像恢复、 特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。,4
2、.1 傅里叶变换,傅里叶变换的作用 (1)可以得出信号在各个频率点上的强度。 (2)可以将卷积运算化为乘积运算。 (3)傅氏变换是进行图像恢复和重构的重要手段。 (4)傅里叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的 角度来看待图像的问题,有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。,傅里叶变换提出 傅里叶(Fourier) :法国数学家, 傅里叶级数:一个任意周期函数都可以分解为不同频率正弦信号的和。 傅里叶变换:求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换 逆变换可以重建原函数 应用 信号处理等(快速傅里叶变换FFT算法出现),Fourier series,其中,an和bn表示第 n个谐振函数的振幅
3、大小。确定这些系数的过程称为Fourier分析。假设有下述函数:,t,F(t),A,-A,T,Time and Frequency,example : sin( t) + (1/3)sin(3 t),=,+,一、一维傅里叶变换,f(x)连续可积的, 一维连续傅里叶变换定义为:,反变换:,函数f(x)和F(u)被称为傅里叶变换对。函数f(x)必须满足只有有限个间断点、有限个极值和绝对可积条件。F(u)也是可积的。,f(x)一般是实函数,F(u)是复函数:,|F(u)|称为函数f(x)的频谱或傅里叶谱,,称为傅立叶变换的相角。,对连续函数f(x)等间隔采样就得到一个离散序列。 假设共采样N次,离散
4、序列表示为: f(0),f(1),f(N-1), 一维离散傅里叶变换定义为:,反变换:,1. 一维离散傅里叶变换,二维傅立叶变换,正变换:,反变换:,二. 二维离散傅里叶变换,要在数字图像处理中应用傅里叶变换, 还需要解决两个问题:一是在数学中进行傅里叶变换的f(x)为连续(模拟)信号, 而计算机处理的是数字信号(图像数据);二是数学上采用无穷大概念,而计算机只能进行有限次计算。通常, 将受这种限制的傅里叶变换称为离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)。,假设以正方形网格采样得到的图像用f(x,y)表示,则f(x,y)的二维离散傅里叶变换表示为:,反变换
5、:,2. 二维离散傅里叶变换,二维傅里叶变换的频谱:,相位角:,左上、右上、左下、右下四个角部分对应于低频成分,中央部分对应于高频成分。若想在低频成分出现在中央位置,可以利用傅里叶变换的平移特性。,对于一幅图像,图像中灰度变化比较慢的区域可以用较低频率的正弦信号近似,灰度变化比较大的边缘需要用高频正弦信号近似。一幅图像中大部分都是灰度变化缓慢的区域,只有一小部分是边缘,因此在变换域的图像,能量主要集中在低频部分(对应幅值较高),只有一小部分能量集中在高频部分(对应幅值较低)。,由傅里叶变换和频率变量( u, v)定义的空间 (1)变化最慢的频率成分(u=0, v=0)对应一幅图像的平均灰度 (
6、2)低频(原点附近)对应图像灰度变化慢的像素 (3)高频(远离原点)对应图像灰度变化快的像素,三. 二维离散傅里叶变换的性质,平均值 可分离性 平移性 周期性 共轭对称性 旋转不变性 分配性与比例性,The average value of 2-D discrete function is,Substituting u=v=0 in the Fourier transform equation yields,Therefore, the average value can be obtained by,1、平均值,、周期性,傅里叶变换及其反变换均以N为周期,即:,周期性表明:尽管F(u,v)对
7、无穷多个u和v的值重复出现,但只需根据在任意周期内的N个值就可以从F(u,v)得到f(u,v)。,、共轭对称性,如果f(x,y)是实函数,它的傅里叶变换具有共轭对称性,、平移性,将f(x,y)乘以一个指数项,进行离散傅里叶变换,可以使频率域u-v平面坐标系的原点从(0,0)平移到(u0,v0)的位置。类似地,将F(u,v)乘以一个指数项,相当于把其二维离散傅里叶反变换的空域中心从(0,0)平移到(x0,y0)。平移不影响幅值。,图像中心化,将图像频谱的原点从起始点(0,0)移到图像的中心点(N/2,N/2),只需要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子进行傅里叶变换即可。,6、线性(分配性),7
8、、比例性,空间比例尺度的展宽,对应于在频域比例尺度的压缩,其幅值也减少为原来的1/|ab|,傅里叶变换的比例性 (a)比例尺度展宽前的频谱 (b)比例尺度展宽后的频谱,、可分离性,一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成,即:第一次先对y进行一维傅立叶变换,在此基础上对x进行一维傅立叶变换,引入极坐标使,旋转不变性,在极坐标中,存在以下的变换对:,由旋转不变性可知,如果时域中f(x,y)旋转角度,则相应的傅里叶变换F(u,v)在频域中也将旋转同样的角度。,b),c) d),b),c) d),(a) 原始图像; (b) 原始图像的傅里叶频谱; (c) 旋转45后的图像; (d) 图像旋转
9、后的傅里叶频谱,四. 快速傅立叶变换,快速傅里叶变换并不是一种新的变换,是离散傅里叶变换(DFT)的一种快速算法。 由于DFT的计算量太大,即使采用计算机也很难对问题进行实时处理,所以并没有得到真正的运用。直到1965年库利和图基在计算数学杂志上发表著名的“机器计算傅里叶级数的一种算法”的问题,提出了DFT的一种快速算法,后来又有桑德和图基的快速算法相继出现,使DFT的计算大大简化,从而使DFT的运算在实际中真正得到广泛的应用。,直接计算DFT的问题及改进的途径,直接计算DFT,乘法次数和加法次数都是和N2成正比,当N较大时,计算量太大,N=1024,1048576次,直接用DFT算法进行谱分
10、析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT的一种快速算法以后,情况才发生了根本的变化。,显然,把N点DFT分解为几个较短的DFT,可使乘法次数大大减少。快速傅里叶变换算法就是基于这样的基本思路发展起来的。,FFT算法,按N的奇偶把f(x)分解为两个N/2点的子序列。偶数项为一组,奇数项为一组。,为自然数,1. DIFFFT算法,设序列f(x)的长度为N,且满足,分解后的运算量,运算量减少了近一半.,当N = 2L时,共有L级蝶形,每级N / 2个蝶形,每个蝶形有1次复数乘法2次复数加法。,复数乘法:,复数加法:,比较DFT,DIT-FFT与直接DFT运算量比较,FFT算法与直接
11、计算DFT所需乘法次数的比较曲线,傅立叶变换的本质是将一个时域上的信号转换到频率域。对于图像傅立叶变换是将以灰度信息表示的图像转变成以不同频率信息表示的图像。也就是说是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。而图像的频率信息是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。梯度大,图像亮否则就弱。 任何图像的傅立叶变换也可以用许多基图像的线性组合来表示。,五、傅立叶变换的物理意义,六、基于傅里叶变换中的频域滤波,MATLAB实现,MATLAB中,可分别用函数fft、 fft2、 fftn来计算一维、二维和n维的FFT,其反变换依次为ifft、 ifft2、 ifftn.,MA
12、TLAB实现,N=100; f=zeros(50,50); f(15:35,23:28)=1; figure,imshow(f,notruesize); F=fft2(f,N,N); F2=fftshift(abs(F); figure,x=1:N;y=1:N; mesh(x,y,F2(x,y);%绘制三维网格图 colormap(gray);colorbar,MATLAB实现,矩形函数,傅里叶变换的幅值,MATLAB实现,N=100; f=zeros(50,50); f(15:35,23:28)=1; figure,imshow(f,notruesize); F=fft2(f,N,N); F
13、2=fftshift(abs(F); figure,imshow(log(abs(F2); colormap(gray);colorbar,N=100; f=zeros(50,50); f(15:35,23:28)=1; M=zeros(50,50); M(20:25,23:28)=1; J = imrotate(f,-45,bicubic); figure,imshow(f,notruesize); figure,imshow(M,notruesize); figure,imshow(J,notruesize);,F=fft2(f,N,N); F2=fftshift(F); F3=fft2(
14、J,N,N); F4=fftshift(F3); F5=fft2(M,N,N); F6=fftshift(F5); figure,imshow(log(abs(F2); colormap(gray);colorbar figure,imshow(log(abs(F4); colormap(gray);colorbar figure,imshow(log(abs(F6); colormap(gray);colorbar,傅里叶变换的幅值对数函数,一、傅里叶变换 实现对一幅灰度图像的快速傅里叶变换,并求其变换后的系数分布。 % 图像的FFT变换 clc; I=imread(girl.bmp); s
15、ubplot(1,2,1) imshow(I); title(原图); subplot(1,2,2) imhist(I); title(直方图); colorbar;,J=fft2(I); figure; subplot(1,2,1) imshow(J); title(FFT变换结果); subplot(1,2,2) K=fftshift(J); imshow(K); title(零点平移); figure; imshow(log(abs(K),),colormap(jet(64); colorbar; title(系数分布图);,i=imread(cameraman.tif); g=fft2
16、(i); subplot(1,2,1);imshow(i); k=(real(ifft2(g); subplot(1,2,2);imshow(k);,问题的提出:,4.2 离散余弦变换 (Discrete Cosine Transform),傅里叶变换的一个最大的问题是:它的参数都是复数,在数据的描述上相当于实数的两倍,不易计算。为此,我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。 在此期望下,产生了DCT变换,变换后仅包含余弦项,所以称为离散余弦变换.,函数f(x)的一维离散余弦变换为:,一. 离散余弦变换,逆变换:,其中:,正变换:,二维离散余弦变换,逆变换:,二维DCT变换是可分离
17、的,能够应用一维DCT算法加以计算。,图像的低频能量集中在左上角,高频能量集中在右下角。因此DCT常常用于医学图像的压缩.,离散余弦变换在图像压缩中的应用 a) 未经压缩的原始图像 b) 采用JPEG方式压缩存储的图像,图(b)的文件大小是图(a)的1/6.,尽管只保留了10/64的DCT系数,抛弃了约85%的DCT系数, 压缩后的图像具有较好的视觉效果。,实现对一幅灰度和彩色图像作的离散余弦变换,选择适当的DCT系数阈值对其进行DCT反变换。 % 图像的DCT变换 RGB=imread(005.bmp); figure; subplot(1,2,1) imshow(RGB); title(彩
18、色原图); a=rgb2gray(RGB); subplot(1,2,2) imshow(a); title(灰度图); figure;,b=dct2(a); imshow(log(abs(b),),colormap(jet(64),colorbar; title(DCT变换结果); figure; b(abs(b)10)=0; % idct c=idct2(b)/255; imshow(c); title(IDCT变换结果);,4.3 小波变换(wavelet transformation ),小波的概念是1974年由法国从事石油信号处理的工程师Morlet在分析研究地球物体信号时提出来的。
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