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1、要点梳理 1.圆的定义 在平面内,到 的距离等于 的点的 叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 和 . 3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中 为圆心, 为半径.,9.3 圆的方程,基础知识 自主学习,集合,圆心,半径,(a,b),r,定点,定长,4.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 ,其中圆心为 ,半径 r= . 5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1) ; (2) ; (3) .,D2+E2-4F0,根据题意,选择标准方程或一般方程,根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组,解出a、b
2、、r或D、E、F代入标准方程或一 般方程,6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) (1)点在圆上: ; (2)点在圆外: ; (3)点在圆内: .,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,基础自测 1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值 范围是 ( ) A.a-2或a B. a0 C.-2a0 D.-2a 解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 转化为 +(y+a)2= a2-a+1, 所以若方程表示圆,
3、则有 3a2+4a-40,-2a .,D,2.圆x2+y2-2x+2y+1=0的圆心到直线x-y+1=0的距离 是 ( ) A. B. C. D. 解析 配方得(x-1)2+(y+1)2=1,圆心(1,-1) 到直线的距离d=,D,3.(2009重庆文,1)圆心在y轴上,半径为1, 且过点(1,2)的圆的方程是 ( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析 设圆的圆心C(0,b),则 =1,b=2.圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.,A,4.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过 定点C
4、,则以C为圆心, 为半径的圆的方程为 ( ) A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 解析 直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0, C(-1,2). 所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 即x2+y2+2x-4y=0.,C,5.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为
5、r. 圆心C在直线x+y-2=0上,b=2-a. |CA|2=|CB|2, (a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2, a=1,b=1.r=2,方程为(x-1)2+(y-1)2=4.,C,题型一 求圆的方程 【例1】求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被 直线x-y=0截得的弦长为2 的圆的方程. 由条件可设圆的标准方程求解,也可设 圆的一般方程,但计算较繁琐. 解 方法一 设所求的圆的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2, 则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为 , r2=,题型分类 深度剖析,思维启迪,即2r2=(a-b)2+14 由于所求的圆与x轴相切,
6、r2=b2. 又因为所求圆心在直线3x-y=0上, 3a-b=0. 联立,解得 a=1,b=3,r2=9或a=-1,b=-3,r2=9. 故所求的圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.,方法二 设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0, 圆心为 半径为 令y=0,得x2+Dx+F=0, 由圆与x轴相切,得=0,即D2=4F. 又圆心 到直线x-y=0的距离为,由已知,得 即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F) 又圆心 在直线3x-y=0上, 3D-E=0. 联立,解得 D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1. 故所求圆的方程是x2
7、+y2-2x-6y+1=0 或x2+y2+2x+6y+1=0.,探究提高 求圆的方程,一般用待定系数法.圆的 一般式和标准式均有三个未知数,合理选择方程 形式可以减少运算量,若已知与圆的圆心和半径 有关的条件,应优先选择圆的标准形式.,知能迁移1(2009辽宁文,7)已知圆C与直线 x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上, 则圆C的方程为 ( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 解析 由题意可设圆心坐标为(a,-a),则 ,解得a=1,故圆心坐标为 (1,-1),半
8、径r= 所以圆的方 程为(x-1)2+(y+1)2=2.,B,【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求y-x的最大值和最小值; (2)求x2+y2的最大值和最小值. 根据代数式的几何意义,借助于平面 几何知识,数形结合求解. 解 圆的标准方程为(x-2)2+y2=3. 1分 (1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当 直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最 小值,3分 此时 解得b=-2 .5分 所以y-x的最大值为 最小值为 7分,思维启迪,题型二 与圆有关的最值问题,(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由 平面几何知识知,
9、在原点与圆心连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值. 9分 又圆心到原点的距离为 10分 所以x2+y2的最大值是 x2+y2的最小值是 12分,探究提高 与圆有关的最值问题,常见的有以下几 种类型:(1)形如 形式的最值问题,可转 化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by形式的 最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形 如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点 到定点的距离的平方的最值问题.,知能迁移2 已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上 任意一点. (1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值 和最小值; (2)求x-2y的最大值和最
10、小值; (3)求 的最大值和最小值. 解 (1)圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的 距离为 P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 d+r= +1= ,最小值为d-r= -1= .,(2)设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点. tmax= -2,tmin=-2- . (3)设k= 则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点,,题型三 与圆有关的轨迹问题 【例3】设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上 运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP, 求点P的轨迹. 先设出P点、N点坐标,根据平行四边 形对角线互
11、相平分,用P点坐标表示N点坐标,代 入圆的方程可求.,思维启迪,解 如图所示,设P(x,y),N(x0, y0),则线段OP的中点坐标为 线段MN的中点坐标为 由于平行四边形的对角线互相平分, N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去 两点 (点P在直线OM上时的情况).,探究提高 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条 件的不同常采用以下方法:直接法,直接根据题目 提供的条件列出方程;定义法,根据圆、直线等定 义列方程;几何法,利用圆与圆的几何性质列方程; 代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点 满足的关系式
12、等.,知能迁移3 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0), B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程; (2)若PBQ=90,求PQ中点的轨迹方程. 解(1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式 可知,P点坐标为(2x-2,2y). P点在圆x2+y2=4上, (2x-2)2+(2y)2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.,(2)设PQ的中点为N(x,y), 在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点, 连结ON,则ONPQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2 所以x2+y2+(x-1)2+(
13、y-1)2=4. 故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.,题型四 圆的综合应用 【例4】已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交 于P,Q两点,且OPOQ(O为坐标原点),求 该圆的圆心坐标及半径. (1)利用垂直列出坐标之间关系, 再化为m的方程求解;(2)OPOQ得到O点 在以PQ为直径的圆上,再利用勾股定理求解; (3)利用圆的性质列出m的方程求解.,思维启迪,解 方法一 将x=3-2y, 代入方程x2+y2+x-6y+m=0, 得5y2-20y+12+m=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件: y1+y2=4,y1y2= OP
14、OQ,x1x2+y1y2=0. 而x1=3-2y1,x2=3-2y2 x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2 m=3,此时0,圆心坐标为 ,半径r = .,方法二 如图所示,设弦PQ中点为M, O1MPQ, O1M的方程为y-3=2 即:y=2x+4. 由方程组 解得M的坐标为(-1,2). 则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2. OPOQ,点O在以PQ为直径的圆上. (0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=r2. 在RtO1MQ中,O1Q2=O1M2+MQ2.,m=3.半径为 ,圆心为 方法三 设过P、Q的圆系方程为 x2+y2+x-6y+m+ (x+2
15、y-3)=0. 由OPOQ知,点O(0,0)在圆上. 圆系方程可化为 x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.,又圆心在PQ上. +2(3- )-3=0, =1,m=3. 圆心为 半径为 .,探究提高 (1)在解决与圆有关的问题中,借助 于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简 化思路,简便运算. (2)本题中三种解法都是方程思想求m值,即三 种解法围绕“列出m的方程”求m值.,知能迁移4 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直 线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR). (1)证明:不论m取什么实数,直线l与
16、圆C恒相 交; (2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时 的直线方程.,(1)证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0, 即不论m取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与 2x+y-7=0的交点. 两方程联立,解得交点为(3,1), 又有(3-1)2+(1-2)2=525,点(3,1)在 圆内部, 不论m为何实数,直线l与圆恒相交. (2)解 从(1)的结论和直线l过定点M(3,1) 且与过此点的圆C的半径垂直时,l被圆所截的弦 长|AB|最短,由垂径定理得|AB|=2,此时,kl=- 从而kl=- =2. l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.,方法与技巧 1.确
17、定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形 式、定参数”是求圆的方程的基本方法:是指根 据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定 其中的三个参数. 2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆 的几何性质,简化运算.,思想方法 感悟提高,失误与防范 1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设 哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. 2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果, 若只求出一个结果,应该考虑切线斜率不存在 的情况.,一、选择题,定时检测,1.已知C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则F=E=0且D0是 C与 y轴相切于原点的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
18、C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由F=E=0,D0 圆心为( ,0),半径 r= C与y轴相切于原点.而 C与y轴相切于 原点能得到F=E=0,但D不一定小于0.,A,2.(2009宁夏,海南文,5)已知圆C1:(x+1)2+ (y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则 圆C2的方程为 ( ) A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1,解析 圆心C1(-1,1),设C2(x,y)是点C1关 于直线x-y-1=0的对称点,则 x=2,y=-2. 圆C2的方程为(
19、x-2)2+(y+2)2=1. 答案 B,3.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆 x2+y2-2x=0上任意一点,则ABC面积的最小值 是 ( ) A.3- B.3+ C.3- D. 解析 lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离 d= ,AB边上的高的最小值为 Smin= (2 ) =3- .,A,4.若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2), 则直线PQ的方程是 ( ) A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y+4=0 D.2x-y=0 解析 PQ中点M(1,2),kOM= =2. kPQ=- . lPQ:y-2=- (x-1),即x+2y-
20、5=0.,B,5.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线 都相切的一个圆的方程是 ( ) A.x2+y2-x-2y- =0 B.x2+y2+x-2y+1=0 C.x2+y2-x-2y+1=0 D.x2+y2-x-2y+ =0,答案D,解析,6.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0 (a,bR)对称,则ab的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析 配方得(x+1)2+(y-2)2=4,圆心(-1,2) 在直线上.a+b=1,ab,A,二、填空题 7.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称, 则a-b的取值范围是 . 解析 圆
21、的方程变为(x+1)2+(y-2)2=5-a, 其圆心为(-1,2),且5-a0,即a5. 又圆关于直线y=2x+b成轴对称, 2=-2+b,b=4.a-b=a-41.,(-,1),8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径 的圆的方程为 . 解析 方法一 直线3x-4y+12=0与两坐标轴的 交点分别为A(-4,0)、B(0,3), 所以线段AB的中点为 故所求圆的方程为(x+2)2+,方法二 易得圆的直径的两端点为A(-4,0)、 B(0,3), 设P(x,y)为圆上任一点,则PAPB. kPAkPB=-1,即 (x-4,x0), 亦即x(x+4)+y(y-3)=0. 化简得
22、(x+2)2+ 答案,9.直线ax+by=1过点A(b,a),则以坐标原点O为圆 心,OA长为半径的圆的面积的最小值是 . 解析 直线过点A(b,a),ab= , 圆面积S= r2= (a2+b2)2 ab= .,三、解答题 10.根据下列条件求圆的方程: (1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直 线2x+3y+1=0上; (2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相 切于点P(3,-2); (3)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解 (1)设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意列出方程组,圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)
23、2=25. (2)方法一 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 解得a=1,b=-4,r=2 . 圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.,方法二 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3, 与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4). 半径r= 所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. (3)方法一 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 解得 D=-2,E=-4,F=-95. 所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.,方法二 由A(1,12),B(7,10), 得A、B的中点坐标为(4,11),kAB=- , 则AB的中垂线方程为3x-y-
24、1=0. 同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0. 联立 即圆心坐标为(1,2),半径r= =10. 所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.,11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限, 半径为2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程; (2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q 到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.若存 在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)设圆心为C(a,b),由OC与直线y=x垂直, 知O,C两点的斜率kOC= =-1,故b=-a, 则|OC|=2 ,即,结合点C(a,b)位于第二象限知 故圆C的方程为(x
25、+2)2+(y-2)2=8. (2)假设存在Q(m,n)符合题意, 故圆C上存在异于原点的点 符合题意.,12.(14分)有一种大型商品,A、B两地都有出售,且 价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里,顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时,点P所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点? ,解 如图,以A、B所在的直线为x轴, 线段AB的中点为原点建立直角坐标系, |AB|=10, A(-5,0),B(5,0). 设P(x,y),P到A、B两地购物的运 费分别是3a、a(元/公里). 当由P地到A、B两地购物总费用相等时, 有:价格+A地运费=价格+B地运费,,化简整理,,(1)当P点在以 为圆心、 为半径的圆上时, 居民到A地或B地购物总费用相等. (2)当P点在上述圆内时,,故此时到A地购物合算.,(3)当P点在上述圆外时, 故此时到B地购物合算.,返回,
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