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1、第四章 离散序列,4.1 有限离散 Fourier 变换(DFT),一、离散序列的 Fourier 变换,引言,一、离散序列的 Fourier 变换,1. 离散序列,示 意 图,2. 离散序列的 Fourier 变换,正变换,反变换,事实上,将离散时间序列,的 Fourier 变换中的采样间隔 取为 1,即得到上述结果。,一、离散序列的 Fourier 变换,3. 物理意义,它是以 1 为周期的周期函数。,即得,二、离散序列的卷积与卷积定理,1. 卷积,结合律,分配律,2. 卷积定理,二、离散序列的卷积与卷积定理,3. 卷积的计算过程,方法一 (线上操作),反转,二、离散序列的卷积与卷积定理,
2、3. 卷积的计算过程,方法二 (表上操作,适合于右边序列),( n 为其它 ),解,(1),解,其它。,解,三、离散时间信号与离散序列的对比,1. 频谱函数之间的关系,设 为离散时间信号, 为对应的离散序列,,即 ,,则有,三、离散时间信号与离散序列的对比,2. 卷积之间的关系,设 和 为两个离散时间信号,,对应的离散序列,,即 ,,和 为,则,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),因此,还需要找到这样一种 Fourier 变换公式:,但是,所有这些变换都不适宜在数字计算机上完成,,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),1. 有限离散序列的 Fourier 变换,考虑长度为 N
3、 的有限离散序列,已有的变换公式,可得其 Fourier 变换为:,可见,有限离散序列的频谱仍为连续函数,且是周期为 1,的周期函数。,按照前面,因此,首先需要将频谱函数离散化。,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),2. 频谱函数离散化,长度为 N 的有限个离散值为:,将 区间 N 等分,,则得到 的,记,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),2. 频谱函数离散化,(?),则有,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),2. 频谱函数离散化,即,因此,只需证矩阵 A 可逆并求出其逆矩阵即可。,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),3. 矩阵 A 的性质,四、有限离
4、散 Fourier 变换(DFT),3. 矩阵 A 的性质,性质1,对称性,性质2,正交性,证明,(1),其中,当 时,,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),3. 矩阵 A 的性质,性质1,对称性,性质2,正交性,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),4. 有限离散 Fourier 变换(DFT),(正变换),DFT:,IDFT:,记 (称为旋转因子),,则有,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),5. 物理意义,为函数 在 区间上的 N 个等距的离散值,,其中 为序列 的连续频谱函数。,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),6. 几点说明,则由 有,即 为
5、在 区间上的 N 个等距的离散值,,其中 为离散时间序列 的连续频谱函数。,若 为离散时间信号 ,,四、有限离散 Fourier 变换(DFT),6. 几点说明,对于复数序列,变换公式也是成立的。,变换公式还可以写成如下的形式:,因此在计算机实现时,只需编写一个正变换的核心程序。,IDFT:,五、DFT 的基本性质,1. 求和性质,2. 线性性质,3. 对偶性质,4. 共轭对称性质,五、DFT 的基本性质,5. 时移性质,五、DFT 的基本性质,注 这里的时移序列 是序列 的循环位移。,6. 频移性质,五、DFT 的基本性质,注 这里的频移序列 是序列 的循环位移。,该性质被应用于调制信号的频谱搬移。,若 m 为任意整数,,6. 频移性质,五、DFT 的基本性质,则,(称此为中心 DFT ),五、DFT 的基本性质,7. 帕塞瓦尔(Parseval)等式,五、DFT 的基本性质,8. 周期性质,令,则 和 都是周期为 N 的周期序列。,五、DFT 的基本性质,8. 周期性质,令,则,又根据欧拉公式有:,解,
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