导数在不等式证明中的应用毕业论文.doc
《导数在不等式证明中的应用毕业论文.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《导数在不等式证明中的应用毕业论文.doc(15页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 山东财经大学 本科毕业论文本科毕业论文( (设计设计) ) 题目:题目: 导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用 Applications of Derivatives in Proving of Inequality 学学 院院 统计与数理学院 专专 业业 信息与计算科学 班班 级级 2008 级一班 学学 号号 20080534132 姓姓 名名 朱秋实 指导教师指导教师 苏 华 山东财经大学教务处制 二一二年五月 山东财经大学学士学位论文 山东财经大学学士学位论文原创性声明山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下进行研究工作 所
2、取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名: 年 月 日 山东财经大学关于论文使用授权的说明山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定,即:学校 有权保留、送交论文的复印件,允许论文被查阅,学校可以公布论文的全部或 部分内容,可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名: 论文作者签名: 年 月 日 年 月 日 山东财经大学学士学位论文 导数在不等式证明中的应
3、用导数在不等式证明中的应用 摘 要 不等式的证明是数学学习中的重要内容之一,其常用方法有:比较法、分析法、综 合法、归纳法、特殊不等式法等。导数作为微积分学的基本内容,利用其证明不等式是 一种行之有效的好方法,它能将某些不等式的证明化难为易,迎刃而解。 关键词:关键词:导数,不等式, 证明, 函数。 Applications of Derivatives in Proving of Inequality ABSTRACT The proof of inequality is one of the important contents of the mathematics learning. T
4、he commonly used methods are comparison, analysis, synthesis method, inductive method and special inequality method. As the basic content of derivative of calculus, use it to prove inequality is a kind of effective method. It make the proof of inequalities is more easier. Keywords: Derivatives;inequ
5、ality;prove;Function 山东财经大学学士学位论文 目录 一、引言1 二、 、利用微分中值定理证明不等式1 1、利用拉格朗日中值定理证明不等式1 2、利用柯西中值定理证明不等式2 三、利用函数的单调性证明不等式3 四、利用两导数的不等性证明不等式4 五、利用函数的凹凸性质证明不等式5 六、利用泰勒公式证明不等式6 七、利用两导数的不等性证明不等式7 小结8 参考文献8 山东财经大学学士学位论文 1 一、引言 导数最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的,无论在初等数学还是在高等数学中,导 数都处于重要的地位。导数是微积分的初步基础知识,是研究函数、解决实际问题的有力工具。它
6、包 括微分中值定理和导数应用。微分中值定理有:Rolle 定理、lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理。 导数的应用包括:利用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性。不等式的证明在数学课题中也是一个 很重要的问题,此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。在不等式的证明中不同的类型有 不同的解法,如果题目给出的函数可导时,利用导数去证明不等式是一种行之有效的办法。用导数证 明不等式最主要的是要先构建一个函数。本文针对微分中值定理、函数的单调性、函数的极值、函数 的凹凸性、泰勒公式、两导数的不等性在不等式证明中的应用进行了举例。 二、利用微分中值定理证明不等式 若函数含有一二阶导数,
7、而要证的不等式的两端含有的函数值,特别是的表达式 xf xf xf 不知道时,或不等式中含有的导数时,常用lagrange中值定理去证明。 xf 1、拉格朗日中值定理:若函数在闭区间上连续;在开区间内可导. 则在内 xfba,ba,ba, 至少存在一点使得.)(ba)( )()(abfafbf 在拉格朗日公式中由于是内的一个点,故可以表示成的形式,于ba,) 10)(aba 是定理的结论就可以改为在中至少存在一个值,使.) 1 , 0( ab afbf abaf 例例 1 1:证明对一切 成立不等式0, 1hh hh h h )1ln( 1 证 设,则 )1ln(xxf , h h hh 1
8、1ln)1ln()1ln(10 当时,由可推知0h10 ,.hh111h h h h h 11 当时,由可推得01h10 ,01.11hhh h h h h 11 从而得到所要证明的不等式. 由上可知:当所要证明的不等式与朗格朗日公式在形式上相似、但不)( )()(abfafbf 山东财经大学学士学位论文 2 完全相同时,则可以利用朗格朗日定理证明。其一般步骤如下: 1 分析不等式的具体特点,构造一个函数, 。这是证明的关键一步。 xfbax, 2 判断函数在区间上是否符合拉格朗日定理的两个条件;若满足,得出结果: xfba, 。)( )()(abfafbf 3 根据欲证不等式的特点,利用及的
9、性质,将上式进行适当变形,使不等式得以证 xf x f 明。 2、柯西中值定理:函数,在闭区间上连续;在开区间内可导;在内 xf xgba,ba,ba, 每一点处,则在内至少存在一点,使得0)( xg),(baxba,)(ba . )( )( )()( )()( g f bgag bfaf 例例 2:2: 设都是可导函数,且,证明:当时, g(x)(xf xgxfax )()()()(agxgafxf 证:因为故单调增加, , 0)( xfxg)(xg 所以当时,ax )()(agxg 即.又在上满足柯西中值定理的条件.0)()(agxg g(x)(xfxa,)(ax 故由柯西中值定理知 ba
10、 g f agxg afxf , 从而 , 1 g f agxg afxf 故原不等式成立. 当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数,或两个函数的函数增量及其一阶导数时可用柯西 中值定理证明。证明步骤有: (1) 、构造两个函数和,并确定它们的区间; xf xgba, (2) 、对与在上用柯西中值定理; xf xgba, (3) 、利用与a,b的关系,对柯西公式进行加强不等式。 山东财经大学学士学位论文 3 三、利用函数的单调性证明不等式 定理:设函数在上连续,在内可导,则有 xfba,ba, 1)如果在内那么函数在上单调递增.),(ba, 0)( xf xfba, 2)如果在内那么函数在上
11、单调递减.),(ba, 0)( xf xfba, 若在上单调增加,则,反之亦然. xfba, bfxfaf 若在上单调增加,则,反之亦然. xfba, bfxfaf 例例 3:3: 证明不等式 ,xex10x 证: 设,则故当时,严格递增;当, xexf x 1 . 1 x exf0x 0 x ff0x ,严格递减.又由于在处连续,则当时0 x fff0x0x , 00 fxf 从而得证 0,1xxex 例例 4:4:已知,求证.0x)1ln(xx 证: 构造函数,容易看出在区间上可导,且 , 0),1ln(xxxxF xF, 0 ,由于可得 )0(0limFxF x 11 1 1 x x x
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 导数 不等式 证明 中的 应用 毕业论文
链接地址:https://www.31doc.com/p-3298501.html