研究生SAS教程14.ppt
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1、1.4 连续型随机变量的变换及其分布,问题:,已知随机变量X的分布密度p(x), 求f(X)的分布密度?,已知随机向量X的分布密度,如何求随机向量f(X)的分布密度?,可逆变换的Jacobi行列式,1.4 连续型随机变量的变换及其分布,一、二重积分的换元积分法,一般地,x=x (u , v) y=y (u , v),u = u (x , y) v = v (x , y),称为Jacobi行列式,二、 二维连续型随机变量的变换及变换后的分布,u = u (x , y) v = v (x , y),U = u (X , Y) V = v (X , Y),则二维连续型随机变量(X,Y)通过变换,得到
2、新的二维连续型随机变量(U,V)的过程,称为二维连续型随机变量的变换。,若(X,Y)的分布密度为p(x, y),则变换后(U,V)的分布密度为,称以上由(X,Y)的分布密度求(U,V)的分布密度的方法为 变换法,式中区域D*内的点(u , v)与p(x, y)取正值的区域D内的点(x, y)一一对应.,对于多维连续型随机变量的变换及变换后的分布有类似的 结果。,注意:变换的唯一性!,例1:XN(0,1),求Y=X2,Z=2X的分布密度。,例2:若(X1,X2)的分布密度为p(x1,x2),而,Y1 = aX1+bX2 Y2 = cX1+dX2,求 (Y1,Y2)的分布密度为p(y1,y2).,
3、解:,y1 = ax1+bx2 y2 = cx1+dx2,x1 = (dy1-by2)/ x2 = (-cy1+ay2 )/,p(y1,y2)=p(dy1-by2)/,(-cy1+ay2 )/)|J|,例3:若X与Y相互独立且都服从N(0,1),试证明: X+Y与X-Y相互独立。,解一:因为X与Y相互独立都服从N(0,1),,故X+Y与X-Y都服从N(0,2)且,故X+Y与X-Y相互独立。,解二:X与Y的分布密度、(X,Y)的分布密度依次为,U=X+Y的分布密度为:,V=X+Y的分布密度为:,即X+YN(0,2),即X-YN(0,2),U与V服从二元正态分布,其中,U与V服从二元正态分布N(0,0,2,2,0),U与V相互独立。,三、 随机变量的线性变换,定义1:当常数c11、c12、c21、c22满足条件c11c22-c12c210时,称,上述变换为非奇线性变换,称C为非奇线性变换矩阵。,若C为正交矩阵,即CCT=I,则称上述变换为正交变换 称C为正交变换矩阵。,特别情况:非奇变换、正交变换,正交变换:,当X与Y相互独立且都服从标准正态分布时,经过正交变换,所得到的U与V也相互独立且都服从标准正态分布。,该结果可推广到多维情形。,一个正态总体的常用统计量及其分布,
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