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1、4.6 抛物面,椭圆抛物面 一、椭圆抛物面的概念 二、椭圆抛物面的性质 三、椭圆抛物面的图形,一、椭圆抛物面的概念(解析定义法),定义4.6.1 在直角坐标系下,由方程 (4.6-1) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面 (elliptic paraboloid).,方程(1)叫做椭圆抛物面的标准方程.,o,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,o,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,y,.,o,x,z,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,旋转抛物面,二、椭圆抛物面的性质,1 对称性,3 范围,为椭圆抛物面的顶点.,关于 z 轴,xOz 、yOz 坐标平面对称;,方程(4.6-1)表示的曲面全部在 xOy 平面的一
2、侧.,2 顶点,用y = 0 截曲面,用x = 0 截曲面,用z = 0 截曲面,) 用坐标面截割,三、椭圆抛物面的图形(平行截割法),Cx0,Cy0,两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向,用z = h (h0)截曲面,结论:椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动(大小位置都改变)而产生,该椭圆在变动中,保持所在平面与xOy 面平行,且两对顶点分别在两主抛物线上滑动,) 用平行于坐标面的平面截割,用y = k截曲面,结论:取这样两个抛物线,它们所在的平面互相垂直,它们的顶点和轴都重合,且两抛物线有相同的开口方向,让其中一条抛物线平行于自己(即与抛物线所在的平面平行),且使其顶点在另一个抛物线
3、上滑动,那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面.,) 用平行于坐标面的平面截割,用z = 0 截曲面,用y = 0截曲面,用x = 0截曲面,用z = h 截曲面,用y = k截曲面,用x = t截曲面,平行截割法,主截口:,辅助截口:,例 已知椭圆抛物面S的顶点在原点,对称面为xOz面与yOz面,且过点 和 ,求这个椭圆抛物面的方程。,分析:,对称面为xOz 面与yOz 面,且, 双曲抛物面,一、双曲抛物面的概念,二、双曲抛物面的性质,三、双曲抛物面的形状,一、双曲抛物面的概念,定义. 在直角坐标系下,由方程 (4.6-) 所表示的曲面叫做双曲抛物面 ( hyperbolic parabo
4、loid ), 其中a,b为任意的正常数.,方程(4.6-)叫做双曲抛物面的标准方程.,二、双曲抛物面的性质,1 对称性,2 范围,双曲抛物面(4.6-2)关于 xOz 、yOz 坐标平面以及z 轴对称.,方程(4.6-2)表示的曲面是无界的.,xOz 、yOz 坐标平面是它的对称平面, z 轴是它的对称轴.,双曲抛物面无对称中心.,用坐标面y = 0 截割曲面,得,用坐标面x = 0 截割曲面,得,用坐标面z = 0 截割曲面,得,) 用坐标面截割曲面,三、双曲抛物面的形状(平行截割法),Cy0,Cx0,两条主抛物线具有相同的顶点和对称轴,但开口方向相反.,用平面z = h截割曲面,得,)
5、用平行于坐标面的平面截割曲面,当h0 时,,当h0 时,,Czh,Czh,用平面y= t 截曲面,得,) 用平行于坐标面的平面截割曲面,Cyt,结论: 如果取两个这样的抛物线,它们的所在平面相互垂直,有公共的顶点与轴,而两抛物线的开口方向相反,让其中的一个抛物线平行于自己(即与抛物线所在的平面平行),且使其顶点在另一抛物线上滑动,那么前一抛物线的运动轨迹便是一个双曲抛物面。,双曲抛物面被 xOy 面分割成上、下两部分,上半部分沿x轴的两个方向上升,下半部分沿y 轴的两个方向下降,曲面的大体形状形如马鞍,故双曲抛物面也称作马鞍面。,抛物面的方程可以写成统一的形式:,(),当 时, ()表示椭圆抛
6、物面;,当 时, ()表示双曲抛物面.,双曲抛物面,椭圆抛物面,例 作出曲面 与平面 ,三坐标面所围成 的立体在第一卦限部分的立体图形.,(2,0,0),(0,4,0),分析:,(0,0,4),D,(2,0,0),(0,4,0),(0,0,4),B,C,A,例 作出曲面 与平面 ,三坐标面所围成 的立体在第一卦限部分的立体图形.,D,(2,0,0),(0,4,0),(0,0,4),B,C,A,例 作出曲面 与平面 ,三坐标面所围成 的立体在第一卦限部分的立体图形.,.,(0,0,2),(0,0,2),L,.,.,.,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,平面y=0 , z=0,3x+y
7、 =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,6,6,6,x+y+z=6,3x+y=6,2,平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,6,6,6,4,2,平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6,6,6,6,4,2,平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,4,2,x+y+z=6,6,6,6,平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,4,2,6,6,6,平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图,a,a,a,a,a,a,a,1,1,1,y,x,0,a,a,a,a,a,a,.,a,a,a,练习,.,a,a,a,练习,
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