北大附中高考数学专题复习简单几何体.doc
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1、学科:数学教学内容:简单几何体【考点梳理】一、考试内容1棱柱(包括平行六面体)。棱锥。多面体。2球。3体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。二、考试要求1理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式,并能运用这些公式进行计算。3了解多面体的概念,能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。对于截面问题,只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥的对角面,棱柱的直截面,球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。三、考点简析1棱柱2棱锥 3棱柱、棱锥的侧面积与体积S正棱柱侧=Ch S正棱锥侧= Ch V柱体=S h V锥体=Sh4球S球=4R2 V
2、球=R3四、思想方法1割补法。它是通过“割”与“补”等手段,将不规则的几何体转化为规则的几何体,是一种常用的转化方法。2正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形,即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角,即侧棱与底面所成的线面角,侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”,它是解决棱锥计算问题的基本依据,必须牢固掌握。3正棱锥的侧面积与底面积的关系。正棱锥:S底=S侧cos4多面体中表面上两点的最短距离。多面体中表面上两点的最短距离,就是其平面展开图中,连结这两点的线段长度,这
3、是立体几何中求最短距离的基本依据(球面上两点间的距离除外)。5关于组合体体积的计算问题。有很多的几何体,都由一些简单几何体所组成,这样的几何体叫做组合体。构成组合体的方式一般有两种:其一是由几个简单几何体堆积而成,其体积就等于这几个简单几何体体积之和;其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成,其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。因此,组合体体积的求法,即为“加、减”法,关键是合理的分割,可使计算简化。6关于等积变换问题。等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。等积变换求体积或求点到平面的距离,都是在基本几何体四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后,
4、计算体积的方法不变,几何体仍为四面体和平行六面体,这样,我们就可以选择适当的面为底面,使计算简单、易行。若几何体本身不是四面体或平行六面体,则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后,再施行等积变换。用等积变换求点到平面的距离,是用两种不同的体积计算方法,来建立所求距离的方程,使问题得解。异面直线间的距离,可转化为点到平面的距离,因此也可用等积变换求解。用等积变换求距离,可绕过距离的作图,从而降低了题目的难度。【例题解析】例1 如图81,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形,ACCB,ABC=30,侧面A1ABB1是边长为a的菱形,且垂直于底面,A1AB=60,E、F分别是AB1、B
5、C的中点。(1)求证:EF侧面A1ACC1;(2)求四棱锥AB1BCC1的体积;(3)求EF与侧面A1ABB1所成角的大小。 (1)连结A1B、A1CA1ABB1是菱形,且E是AB1的中点,E是A1B的中点。又F是BC的中点,EFA1C。又A1C平面A1ACC1,EF平面A1ACC1,EF面A1ACC1。(2)平面A1ABB1平面ABC,交线为AB,在平面A1ABB1内,过A1作A1OAB于O,则A1O平面ABC,且h=A1O=a,又ACCB,ABC=30,V ACCBB=V柱V AABC=Sh Sh=Sh=ACBCA1O=a aa =a3(3)在平面ABC内,过F作FHAB于H,则FH侧面A
6、1ABB1。连结EH,则HEF为EF与侧面A1ABB1所成的角。在RtFHB中,FH=BF=a,BH=a;在HEB中,HE=a,在RtEHF中,tanHEF=,HEF=arctan。例2 如图83,三棱锥PABC中,ABC是正三角形,PCA=90,D为PA的中点,二面角PACB为120,PC=2,AB=2。(1)求证:ACBD;(2)求BD与底面ABC所成的角(用反正弦表示);(3)求三棱锥PABC的体积。 解 (1)如图84,取AC中点E,连DE、BE,则DEPC,PCAC,DEAC。ABC是正三角形,BEAC。又DE平面DEB,BE平面DEB,DEBE=E,AC平面DEB。DB平面DEB,
7、ACDB。(2)法一:AC平面DEB,AC底面ABC,平面DEB底面ABC,EB是DB在底面ABC内的射影,DBE是BD与底面ABC所成的角。又DEAC,BEAC,DEB即为二面角PACB的平面角。在DEB中,DE=PC=1,BE=AB=3,由余弦定理,得 BD2=12+32 213cos120=13,BD=,由正弦定理,得=,解得sinDBE=,即BD与底面ABC所成的角为arcsin。法二:AC平面DEB,AC平面ABC。平面DEB平面ABC,作DF平面ABC,F为垂足,则F在BE的延长线上,DBF是BD与平面ABC所成的角。DEAC,BEAC,DEB是二面角PACB的平面角。在RtDBF
8、中,DE=PC=1,BE=AB=3,DEB=120,DEF=60,DF=。在DEB中,由余弦定理得BD=,sinDBF=,故BD与底面ABC所成的角为arcsin。(3)AC平面DEB,AC平面PAC,平面DEB平面PAC,过点B作平面PAC的垂线段BG,垂足G在DE的延长线上。在RtBEG中,BEG=60,BE=3,BG=,VPABC=VBPAC=SPACBG=3。例3 如图85,三棱锥PABC中,已知PABC,PA=BC=l,PA、BC的公垂线DE=h,求三棱锥PABC的体积。分析:思路一直接求三棱锥PABC的体积比较困难。考虑到DE是棱PA和BC的公垂线,可把原棱锥分割成两个三棱锥PEB
9、C和AEBC,利用PA截面EBC,且EBC的面积易求,从而体积可求。解 如图851,连结BE,CE。DE是PA、BC的公垂线,PADE。又PABC,PA截面EBC。VPEBC=SEBCPE,VAEBC=SEBCAE。DEBC,SEBC=BCDE=lh,VPABC=VPEBC+VAEBC=SEBC(PE+AE)=PASEBC=l2h。注 本例的解法称为分割法,把原三棱锥分割为两个三棱锥,它们有公共的底面EBC,而高的和恰为PA,因而计算简便。思路二 本题也可用补形法求解。解 如图852,将ABC补成平行四边形ABCD,连结PD,则PAAD,且BC平面PAD,故C到平面PAD的距离即为BC和平面P
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