2020《创新方案》高考人教版数学(理)总复习练习:第七章 立体几何 课时作业48 Word版含解析.doc
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1、课时作业48利用向量求空间角1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)A. B.C. D.解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),(0,1,1),设平面A1ED的一个法向量为n1(1,y,z)则有即n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1),cosn1,n2,即所成的锐二面角的余弦值为.2(2019大同模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距
2、离是(D)A. B.C. D.解析:如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),设平面A1BD的一个法向量n(x,y,z),则令z1,得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距离d.3(2018全国卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为(A)A. B.C. D.解析:由正方体的性质及题意可得,正方体共顶点的三条棱所在直线与平面所成的角均相等如图,正方体ABCD-A1B1C1
3、D1中,易知棱AB,AD,AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等,所以平面A1BD,当平面趋近点A时,截面图形的面积趋近于0;当平面经过正方体的中心O时,截面图形为正六边形,其边长为,截面图形的面积为62;当平面趋近于C1时,截面图形的面积趋近于0,所以截面图形面积的最大值为,故选A.4已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16的球O的球面上,AC为球O的直径当三棱锥P-ABC的体积最大时,二面角P-AB-C的大小为,则sin等于(C)A. B.C. D.解析:如图,设球O的半径为R,由4R216,得R2,设点P到平面ABC的距离为d,则0d2,因为AC为球的直径,所以AB2BC2AC
4、216,则V三棱锥P-ABCABBCd2,当且仅当ABBC2,d2时,V三棱锥P-ABC取得最大值,此时平面PAC平面ABC,连接PO,因为POAC,平面PAC平面ABCAC,PO平面PAC,所以PO平面ABC,过点P作PDAB于D,连接OD,因为ABPO,ABPD,POPDP,所以AB平面POD,则ABOD,所以PDO为二面角P-AB-C的平面角,因为ODBC,所以PD,则sinsinPDO,故选C.5如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是正方形A1B1C1D1和正方形ADD1A1的中心,则EF和CD所成的角的大小是45.解析:以D为原点,分别以DA、DC、DD1所在直
5、线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),C(0,1,0),E,F,(0,1,0),cos,135,异面直线EF和CD所成的角的大小是45.6如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为,则cos的最大值为.解析:建立空间直角坐标系如图所示设AB1,则,E.设M(0,y,1)(0y1),则.,cos.则21.令8y1t,1t9,则,当且仅当t1时取等号cos,当且仅当y0时取等号7如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面A
6、BCD,E为PD的中点(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP1,AD,求三棱锥E-ACD的体积解:(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点又E为PD的中点,所以EOPB.又因为EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,0),E,.设B(m,0,0)(m0),则C(m,0),(m,0)设n1(x,y,z)为平面ACE的法向量,则即可取n1.又n2(1,
7、0,0)为平面DAE的法向量,由题设得|cosn1,n2|,即 ,解得m.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V.8(2019江西六校联考)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ABD90,EB平面ABCD,EFAB,AB2,EB,EF1,BC,且M是BD的中点(1)求证:EM平面ADF;(2)求二面角A-FD-B的余弦值的大小解:(1)证法一:取AD的中点N,连接MN,NF.在DAB中,M是BD的中点,N是AD的中点,所以MNAB,MNAB,又因为EFAB,EFAB,所以MNEF且MNEF.所以四边形MNFE为平行四边形,所以EMFN,又因为FN
8、平面ADF,EM平面ADF,故EM平面ADF.证法二:因为EB平面ABD,ABBD,故以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.由已知可得,(3,2,0),(0,1,),设平面ADF的法向量是n(x,y,z)由得令y3,则n(2,3,)又因为n0,所以n,又EM平面ADF,故EM平面ADF.(2)由(1)中证法二可知平面ADF的一个法向量是n(2,3,)易得平面BFD的一个法向量是m(0,1)所以cosm,n,又二面角A-FD-B为锐角,故二面角A-FD-B的余弦值大小为.9(2019河南郑州一模)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,DABDCB,E为线段BD上的一点
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