2020版高考数学大一轮复习第七章立体几何第45讲用向量方法求空间角及应用课时达标理含解析新人教A.doc
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1、第45讲 用向量方法求空间角及应用课时达标一、选择题1已知三棱锥SABC中,SA,SB,SC两两互相垂直,底面ABC上一点P到三个面SAB,SAC,SBC的距离分别为,1,则PS的长度为()A9 B. C. D3D解析 由条件可分别以SA,SB,SC为x轴、y轴,z轴建立空间直角坐标系Sxyz,则点S的坐标为(0,0,0),点P的坐标为(,1,),由两点之间的距离公式可得PS3.2在直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90C解析 不妨设ABACAA11,建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,1,0),A1
2、(0,0,1),A(0,0,0),C1(1,0,1),所以(0,1,1),(1,0,1),所以cos,所以,60,所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.3在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.B解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),所以(0,1,1),.设平面A1ED的一个法向量为n1(1,y,z),则所以所以n1(1,2,2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1),所以cosn1,n2,即所成的锐二面角的余弦值
3、为.4若直线l的方向向量为a(1,0,2),平面的法向量为u(2,0,4),则()Al Bl Cl Dl与斜交B解析 因为u2a,所以ua,则l.5已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧面积是其下底面面积的4倍,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为()A. B. C. D.A解析 设正三棱柱的底面边长为a,侧棱长为b,由题意可得4,整理得ab.取A1C1的中点E,连接B1E,易知B1EA1C1,又AA1底面A1B1C1,所以AA1A1C1,AA1B1E.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,设a为1,则E(0,0,0),A,B1.设AB1与平面ACC1A1所成的角为,为平面AC
4、C1A1的一个法向量, ,则sin |cos,|.故选A.6(2018浙江卷)已知四棱锥SABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点)设SE与BC所成的角为1,SE与平面ABCD所成的角为2,二面角SABC的平面角为3,则()A123 B321C132 D231D解析 由题意得四棱锥SABCD为正四棱锥,设O为其底面中心,则SO平面ABCD.过点E作EGBC交CD于点G,则SEG1,易知SESG,取EG中点H,所以tan 1.取AB中点F,连接OF,SF.因为OFBC,所以OFAB.因为SASB,F为AB中点,所以ABSF,所以SFO为二面角SABC的平面角,所以SFO
5、3,tan 3.因为OFEH,SHSO,所以tan 1tan 3,又1,3,所以13.因为SO平面ABCD,所以SEO为SE与平面ABCD所成的角,所以SEO2,tan 2.因为OEOF,所以tan 3tan 2,又2,3,所以32,所以132,当且仅当E为AB中点时,123.故选D.二、填空题7在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,点D在棱BB1上,若BD1,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为_解析 如图,设AD与平面AA1C1C所成的角为,E为AC的中点,连接BE,则BEAC,所以BE平面AA1C1C,可得()1cos (为与的夹角),所以cos sin ,所以所求角的正切值为ta
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