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1、2.3.2平面与平面 垂直的判定,两直线所成角的取值范围:,平面的斜线和平面 所成的角的取值范围:,直线和平面所成角的取值范围:,复习回顾,两直线所成角的取值范围: 0o, 90o ,平面的斜线和平面 所成的角的取值范围: (0o, 90o),直线和平面所成角的取值范围: 0o, 90o ,复习回顾,1.在平面几何中“角“是怎样定义的?,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,2.在立体几何中,“异面直线所成的角“是怎样定义的?,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a /a, b/ b,我们把相交直线a 和 b所成的锐角 (或直角
2、)叫做异面直线所成的角。,3.在立体几何中,“直线和平面所成的角“是怎样定义的?,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。,问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征?,结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。,二面角,1半平面的定义,平面内的一条直线把平面分为两部 分,其中的每一部分都叫做半平面,讲授新课,2二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角,l,2二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角,这条直线叫做二 面角的棱,l,2二面角的定义,从一条直线出发的两个半
3、平面所组 成的图形叫做二面角,这条直线叫做二 面角的棱,每个半平 面叫做二面角的面,l,2二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角,这条直线叫做二 面角的棱,每个半平 面叫做二面角的面,棱为l,两个面分 别为、的二面角记 为 -l- , 平卧式:,3画二面角, 平卧式:,l,3画二面角, 平卧式:, 直立式:,l,3画二面角,怎样度量二面角的大小?能否转化为两相交直线所成的角?,4二面角的大小,在二面角-l-的 棱l上任取一点O,如 图,在半平面 和 内,从点 O 分别作垂 直于棱 l 的射线OA、 OB,射线OA、OB组成AOB,怎样度量二面角的大小?能否转化为两相交
4、直线所成的角?,4二面角的大小,在二面角-l-的 棱l上任取一点O,如 图,在半平面 和 内,从点 O 分别作垂 直于棱 l 的射线OA、 OB,射线OA、OB组成AOB,怎样度量二面角的大小?能否转化为两相交直线所成的角?,4二面角的大小,AOB的大小一定,一个平面垂直于二 面角 -l- 的棱 l,且与 两个半平面的交线分别 是射线 OA、OB,O 为 垂足,则 AOB 叫做 二面角 -l- 的平面角,4二面角的大小,二面角的大小可以用它的平面角来 度量即二面角的平面角是多少度,就 说这个二面角是多少度,4二面角的大小,二面角的大小可以用它的平面角来 度量即二面角的平面角是多少度,就 说这个
5、二面角是多少度, 二面角的两个面重合: 0o;,4二面角的大小,二面角的大小可以用它的平面角来 度量即二面角的平面角是多少度,就 说这个二面角是多少度, 二面角的两个面重合: 0o;, 二面角的两个面合成一个平面:180o;,4二面角的大小,二面角的大小可以用它的平面角来 度量即二面角的平面角是多少度,就 说这个二面角是多少度,二面角的范围: 0o, 180o , 二面角的两个面重合: 0o;, 二面角的两个面合成一个平面:180o;,4二面角的大小, 平面角是直角的二面角叫直二面角,(1)定义法 根据定义作出来,(2)垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到,l,A,B,O,l,O,A
6、,B,A,O,l,D,(3)垂线法,5. 二面角的平面角的作法,1、定义法 根据定义作出来,2、垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到,3、三垂线法,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D-AB-D和A-AB-D; (2)二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D-AB-D和A-AB-D; (2)二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的 平面角,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D-AB-D
7、和A-AB-D; (2)二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中,找出下列二面角的平面角: (1)二面角D-AB-D和A-AB-D; (2)二面角C-BD-C和C-BD-A.,6. 平面与平面垂直,两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直. 平面与垂直,记作.,6. 平面与平面垂直,两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直. 平面与垂直,记作.,两个平面垂直的判定定理,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,已知:AB,AB(图1) 求证:。,证明:设=CD, AB
8、,CD,ABCD 在平面内过点B作直线BECD,则ABE是二面角-CD-的平面角, 而ABBE,故-CD-是直二面角 。,题1 如图,AB是O的直径, PA垂直于 O所在的平面,C是圆周上不同于A, B 的任意一点,求证:平面PAC平面PBC.,题1 如图,AB是O的直径, PA垂直于 O所在的平面,C是圆周上不同于A, B 的任意一点,求证:平面PAC平面PBC.,线线垂直 线面垂直,面面垂直,练习1:,(1) 四个面的形状怎样? (2) 有哪些直线与平面垂直? (3) 任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定?,A,B,C,D,题2 已知空间四边形ABCD的四条边和对 角线都相等,求平面
9、ACD和平面BCD所 成二面角的大小.,D,A,C,B,练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三 个侧面与底面全等,且ABAC , BC2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小?,D,A,E,C,B,练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三 个侧面与底面全等,且ABAC , BC2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小?,练习2:如图,已知三棱锥D-ABC的三 个侧面与底面全等,且ABAC , BC2,求以BC为棱,以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小?,D,A,E,C,B,练习3: ABCD是正方形,O是正方形的 中心,PO平面ABCD , E是PC的中点, 求证:(1) PC平面BDE; (2)平面PACBDE.,P,O,A,B,C,D,E,课堂小结,1. 二面角的定义、二面角的平面角; 2. 二面角平面角的求法; 3. 平面与平面垂直的判定.,
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