2019-2020学年数学高中人教A版必修1学案:2.1.1.2 指数与指数幂的运算 .pdf
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1、第二章 基本初等函数第二章 基本初等函数() 2.1 指数函数 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 指数与指数幂的运算(第二课时第二课时) 学习目标 理解分数指数幂的概念; 掌握分数指数幂和根式之间的互化; 掌握分数指数幂的运算性质; 培养学生观察分析和抽象的能力,以及渗透“转化”的数学思想. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰 减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢? 问题 2:考古学家根
2、据上式可以知道,当生物体死亡了 6000 年,10000 年,100000 年后,它体 内碳 14 的含量 P 分别为(,(,(.那么这些数(,(,(的意义究竟是 1 2) 6000 5730 1 2) 10000 5730 1 2) 100000 5730 1 2) 6000 5730 1 2) 10000 5730 1 2) 100000 5730 什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别? 二、自主探索,尝试解决 问题 3:观察以下式子,你能总结出什么规律?(a0) =a2=; 5 10= 3 ( 2)5 10 5 =a4=;8= ( 4)2 8 2 =a3=; 4 12= 4 ( 3)
3、4 12 4 =a5=.10= ( 5)2 10 2 问题 4:利用问题 3 中的规律,你能表示下列式子吗? (x0,m,nN*,且 n1). 4 53, 3 75, 5 7, 问题 5:你能用方根的意义来解释问题 4 中的式子吗? 问题 6:你能把问题 3,4 中得到的结论推广到一般的情形吗? 规定:正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且 n1). = 三、信息交流,揭示规律 问题 7:负整数指数幂的意义是怎样规定的? 问题 8:你能得出负分数指数幂的意义吗? 规定:正数的负分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且 n1). - = 1 = 1 问题 9:你认为应怎样规定零的分数指
4、数幂的意义呢? 问题 10:综合上述问题 7,8,9,如何规定分数指数幂的意义? 分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,且 n1),正数的负分数指数幂的意 = 义是(a0,m,nN*,且 n1),零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有 - = 1 = 1 意义. 问题 11:分数指数幂的意义中,为什么规定 a0,去掉这个规定会产生什么样的后果? 问题 12:既然指数的概念已从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性 质是否也适用于有理数指数幂呢? 有理数指数幂的运算性质: 对任意的有理数 r,s, (1)aras= (a0,r,sR); (2)(
5、ar)s= (a0,r,sR); (3)(ab)r= (a0,b0,rR). 问题 13:若 a0, 是一个无理数,则 a该如何理解? 实数指数幂有意义,且有相同的运算性质,即: aras=ar+s(a0,r,sR); (ar)s=ars(a0,r,sR); (ab)r=arbr(a0,b0,rR). 四、运用规律,解决问题 【例 1】(课本 P51,例 2)求值: ;2;( )-5;(.8 2 3 5 - 1 2 1 2 16 81) - 3 4 【例 2】用分数指数幂的形式表示下列各式. a3;a2(a0). 3 2; 3 【例 3】计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(2)(-6)
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