2020《创新方案》高考人教版数学(理)总复习练习:第八章 解析几何 课时作业58 Word版含解析.pdf
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1、课时作业 58 圆锥曲线的综合问题 1(2019河北石家庄一模)倾斜角为 的直线经过椭圆1(a 4 x2 a2 y2 b2 b0)的右焦点 F,与椭圆交于 A、B 两点,且 A2 F,则该椭 F B 圆的离心率为( B ) A. B 3 2 2 3 C. D 2 2 3 3 解析 : 由题可知, 直线的方程为 yxc, 与椭圆方程联立得Error!Error! (b2a2)y22b2cyb40, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则Error!Error! 又 A2 F,(cx1,y1)2(x2c,y2), F B y12y2,可得Error!Error! ,e,故选 B. 1 2 4c
2、2 a2b2 2 3 2 (2019河北七校联考)如图, 由抛物线 y28x 与圆 E: (x2)2y2 9 的实线部分构成图形 ,过点 P(2,0)的直线始终与圆形 中的抛 物线部分及圆部分有交点,则|AB|的取值范围为( D ) A2,3 B3,4 C4,5 D5,6 解析 : 由题意可知抛物线y28x的焦点为F(2,0), 圆(x2)2y29 的圆心为 E(2,0),因此点 P,F,E 三点重合,所以|PA|3. 设 B(x0,y0),则由抛物线的定义可知|PB|x02, 由Error!Error!得(x2)28x9, 整理得 x24x50,解得 x11,x25(舍去),设圆 E 与抛
3、物线交于 C,D 两点,所以 xCxD1, 因此0x01, 又|AB|AP|BP|3x02x05, 所以|AB|x0 55,6,故选 D. 3已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公 共点,且F1PF2 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值 3 为( A ) A. B 4 3 3 2 3 3 C3 D2 解析:解法一:设椭圆方程为1(a1b10),离心率为 e1, x2 a2 1 y2 b2 1 双曲线的方程为1(a20,b20),离心率为 e2,它们的焦距为 x2 a2 2 y2 b2 2 2c,不妨设 P 为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点, 则
4、易知Error!Error!解得Error!Error! 在F1PF2中,由余弦定理得(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1 a2)cos 604c2, 整理得 a 3a 4c2, 2 12 2 所以4,即 4. a2 1 c2 3a2 2 c2 1 e2 1 3 e2 2 设 a,b, ( 1 e1, 3 e2 )( 1, 3 3 ) ab|a|b|,故 1 e1 1 e2 1 e2 1 3 e2 2 11 3 4 4 3 4 3 3 1 e1 1 e2 的最大值是,故选 A. 4 3 3 解法二:不妨设 P 在第一象限, |PF1|m,|PF2|n. 在PF1F2中, 由余弦定理
5、得 m2n2mn4c2. 设椭圆的长轴长为 2a1,离心率为 e1,双曲线的实轴长为 2a2,离 心率为 e2,它们的焦距为 2c,则 . 1 e1 1 e2 a1a2 c mn 2 mn 2 c m c 2 , ( 1 e1 1 e2) m2 c2 4m2 m2n2mn 4 ( n m) 2n m1 易知 2 1 的最小值为 . ( n m) n m 3 4 故 max .故选 A. ( 1 e1 1 e2) 4 3 3 4 (2019贵阳模拟)已知双曲线 x2y21 的左、 右顶点分别为 A1, A2,动直线 l: ykxm 与圆 x2y21 相切,且与双曲线左、右两支 的交点分别为 P1
6、(x1,y1),P2(x2,y2),则 x2x1的最小值为( A ) A2 B22 C4 D3 2 解析:直线 l 与圆相切, 原点到直线的距离 d1, |m| 1k2 m21k2. 由Error!Error!得(1k2)x22mkx(m21)0, Error!Error! k21,1k1,由于 x1x2, 2mk 1k2 x2x1, x 1x224x1x2 2 2 |1k2| 2 2 1k2 0k21,当 k20 时,x2x1 取最小值 2,故选 A.2 5(2019河南郑州一模)如图,已知抛物线 C1的顶点在坐标原点, 焦点在 x 轴上,且过点(2,4),圆 C2:x2y24x30,过圆心
7、 C2的 直线 l 与抛物线和圆分别交于 P,Q,M,N,则|PN|4|QM|的最小值 为( A ) A23 B42 C12 D52 解析:由题意可设抛物线 C1的方程为 y22px(p0),因为抛物 线C1过点(2,4),所以162p2,得p4,所以y28x.圆C2: x2y24x3 0, 整理得(x2)2y21, 可得圆心 C2(2,0)恰好是抛物线 y28x 的焦 点, 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), 当直线 l 的斜率不存在时, l: x2,所以 P(2,4), Q(2,4),所以|PN|4|QM|PC2|C2N|4|QC2|4|C2M|PC2| 4|QC2|54445
8、25. 当直线 l 的斜率存在且不为零时,可设 l 的方程为 yk(x2),联 立Error!Error!可得 k2(x2)28x,整理得 k2x2(4k28)x4k20,0, 则 x1x24, 故 x2 , 所以|PN|4|QM|PC2|4|QC2|5x1 4x2 4 x1 p 2 4 5x14x215x11521581523 p 2 16 x1 x1 16 x1 .因为 2325,所以|PN|4|QM| ( 当且仅当x116 x1 ,即x14时取“”) 的最小值为 23.故选 A. 6 (2018浙江卷)已知点 P(0,1), 椭圆 y2m(m1)上两点 A, B x2 4 满足2,则当
9、m 5 时,点 B 横坐标的绝对值最大 AP PB 解析:本小题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数 的最值 设 B(t,u),由 A2 P,易得 A(2t,32u) P B 点 A,B 都在椭圆上,Error!Error! 从而有3u212u90,即 u24u3. 3t2 4 t2 4 即有 4u3mu, m, m3 4 t2 4 m32 16 t2 m2 m (m5)24. 1 4 5 2 9 4 1 4 当 m5 时,(t2)max4,即|t|max2, 即当 m5 时,点 B 横坐标的绝对值最大 7(2019合肥模拟)若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和 x2 9 y2
10、 8 左焦点,点 P 为椭圆上的任一点,则 OF的最小值为 6 . P P 解析 : 点 P 为椭圆 1 上的任意一点, 设 P(x, y)(3x3, x2 9 y2 8 2y2),依题意得左焦点 F(1,0),22 O(x,y),F(x1,y), P P OFx(x1)y2x2x P P 728x2 9 2 . 1 9(x 9 2) 23 4 3x3, x , 3 2 9 2 15 2 2 , 9 4 ( x9 2) 225 4 2 , 1 4 1 9(x 9 2) 225 36 6 2 12, 1 9(x 9 2) 23 4 即 6OF12,故最小值为 6. P P 8(2019河北百校联
11、盟联考)已知抛物线 C:x28y 的焦点为 F, 准线为 l1, 直线 l2与抛物线 C 相切于点 P, 记点 P 到直线 l1的距离为 d1, 点 F 到直线 l2的距离为 d2,则的最大值为 . d2 d12 1 2 解析:依题意,得点 F(0,2),因为 y ,所以 y , x2 8 x 4 设 P(x0,y0),则直线 l2:yy0 (xx0),即xyy00,故 x0 4 x0 4 点 F 到直线 l2的距离 d2,又点 P 到直 |2y0| x2 0 161 2y0 y0 2 1 2y02 线 l1的 距 离 d1 |PF| y0 2, 所 以 d2 d12 2 y02 y04 2
12、, 当且仅当, 1 y02 2 y02 2 1 2 y0 2 2 y02 1 2 y02 2 y02 即 y00 时,取等号,所以的最大值为 . d2 d12 1 2 9 (2018北京卷)已知抛物线C: y22px经过点P(1,2), 过点Q(0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B, 且直线 PA 交 y 轴于 M, 直线 PB 交 y 轴于 N. (1)求直线 l 的斜率的取值范围; (2)设 O 为原点,求证: 为定值 QM QO QN QO 1 1 解:(1)因为抛物线 y22px 过点(1,2),所以 2p4,即 p2. 故抛物线 C 的方程为 y24x, 由
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