2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试:13 函数模型及其应用 Word版含解析.pdf
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1、考点测试 13 函数模型及其应用 高考概览 高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题,分值5分,中等难度 考纲研读 1了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上 升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中 普遍使用的函数模型)的广泛应用 一、基础小题 1 甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程 S 与时间 t 的函数关系 如图所示,则下列说法正确的是( ) A甲比乙先出发 B乙比甲跑的路程多 C甲、乙两人的速度相同 D甲比乙先到达终点 答案 D 解析 由题图知,甲和乙所走的路程相同且同时出发,
2、但甲用时间少,即甲 的速度比乙快 2 如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图 象若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( ) 答案 D 解析 根据图象可得,张大爷先是离家越来越远,后离家距离保持不变,最 后慢慢回家,符合的只有 D 3国家相继出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税如下 : 年收入在 280 万元及以下的税率为 p%,超过 280 万元的部分按(p2)%征税,有 一公司的实际缴税比例为(p025)%,则该公司的年收入是( ) A560 万元 B420 万元 C350 万元 D320 万元 答案 D 解析 设该公司的年收
3、入为 a 万元,则 280p%(a280)(p2)%a(p 025)%,解得 a320故选 D 280 2 20.25 4 某种动物的种群数量 y(单位 : 只)与时间 x(单位 : 年)的关系式为 yalog2(x 1),若这种动物第一年有 100 只,则到第 7 年它们发展到( ) A300 只 B400 只 C500 只 D600 只 答案 A 解析 由题意,得 100alog2(11),解得 a100,所以 y100log2(x1), 当 x7 时,y100log2(71)300,故到第 7 年它们发展到 300 只 5设甲、乙两地的距离为 a(a0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了
4、 20 min,在乙地休息 10 min 后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 min,则小王从 出发到返回原地所经过的路程 y 与其所用的时间 x 的函数的图象为( ) 答案 D 解析 由题意知小王在 020 min,3060 min 这两段时间运动的路程都在不 断增加,在 2030 min 时,运动的路程不变故选 D 6f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,当 x(4,)时,对三个函数的增长速 度进行比较,下列选项中正确的是( ) Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x) Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x) 答案 B 解析 画出三个函数的图象
5、,如下图所示,当 x(4,)时,指数函数的图 象位于二次函数的图象的上方,二次函数的图象位于对数函数图象的上方,故 g(x)f(x)h(x) 7某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,表格是某公司前 5 天监测到 的数据: 第 x 天12345 被感染的计算机数量 y/ 台 12244995190 则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是 ( ) Ay12x By6x26x12 Cy62x Dy12log2x12 答案 C 解析 由表格可知,每一天的计算机被感染台数大约是前一天的 2 倍,故增 长速度符合指数型函数,故选 C 8已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价
6、格走势如图所示假设某商人 持有资金 120 万元,他可以在 t1至 t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立 即成交(其他费用忽略不计)如果他在 t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大 利润是( ) A40 万元 B60 万元 C120 万元 D140 万元 答案 C 解析 甲 6 元时该商人全部买入甲商品,可以买 120620(万份),在 t2时刻 全部卖出, 此时获利 20240(万元), 乙 4 元时该商人买入乙商品, 可以买(120 40)440(万份), 在 t4时刻全部卖出, 此时获利 40280(万元), 共获利 4080 120(万元)故选 C 9某公司为了实现 1000
7、万元销售利润的目标,准备制订一个激励销售人员 的奖励方案:在销售利润达到 10 万元时,按照销售利润进行奖励,且奖金 y(单位: 万元)随销售利润 x 的增加而增加,但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过销售利 润的 25%,则下列函数最符合要求的是( ) Ay x Bylg x1 1 4 Cy x Dy 3 2 x 答案 B 解析 由题意知,x10,1000,符合公司要求的模型需同时满足:函数 为增函数;函数的最大值不超过 5;yx25%对于 y x,易知满足,但 1 4 当 x20 时,y5,不满足要求 ; 对于 y x,易知满足,因为45,故当 x4 时, 3 2 3 2 不满足要求 ;
8、 对于 y,易知满足,但当 x25 时,y5,不满足要求 ; 对于 ylg x x1, 易知满足, 当 x10, 1000时, 2y4, 满足, 再证明 lg x1x25%, 即 4lg x4x0, 设 F(x)4lg x4x, 则 F(x)1200,则 lg 130(112%)n1lg 200,lg 130(n1)lg 1 12lg 22, 2lg 1 3(n1)lg 1 12lg 22, 0 11(n1)0 050 30, 解得 n 24 5 又nN*,n5,该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份 是 2019 年故选 B 14 (2015北京高考)汽车的 “燃油效率” 是指
9、汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程, 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确 的是( ) A消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下, 在该市用丙车比用 乙车更省油 答案 D 解析 对于 A 选项,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃 油效率大于 5 km/L,故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米,所以 A 错 误对于 B 选项,由图可知甲车消耗汽油最少对于
10、C 选项,甲车以 80 km/h 的 速度行驶时的燃油效率为 10 km/L, 故行驶 1 小时的路程为 80 千米, 消耗 8 L 汽油, 所以 C 错误对于 D 选项,当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率 大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以 D 正确 15(2015四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:) 满足函数关系 yekxb(e2718为自然对数的底数,k,b 为常数)若该食品 在 0 的保鲜时间是 192 小时,在 22 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 的保鲜时间是( ) A16 小时 B20 小时 C24
11、小时 D28 小时 答案 C 解析 由题意得即所以该食品在 33 的保鲜 时间是 ye33kb(e11k)3eb 319224(小时) ( 1 2) 16(2014湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p, 第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A B pq 2 p1q11 2 C D1pq p1q1 答案 D 解析 设两年前的年底该市的生产总值为 a,则第二年年底的生产总值为 a(1 p)(1q)设这两年生产总值的年平均增长率为 x,则 a(1x)2a(1p)(1q), 由于连续两年持续增加,所以 x0,因此 x1,故选 D 1p1q 17(2
12、018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题: “今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一凡百钱,买鸡百只, 问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为 x,y,z,则 当 z81 时,x_,y_ 答案 8 11 解析 把 z81 代入方程组,化简得解得 x8,y11 18(2014湖北高考)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流 量 F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位 : 辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相 同速度 v 行驶,单位:米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F 76000v v218v20l (1)如果不限定车型,
13、l605,则最大车流量为_辆/小时; (2)如果限定车型,l5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/ 小时 答案 (1)1900 (2)100 解析 (1)当 l605 时,F, 76000v v218v20 6.05 F1900,当且仅当 v, 76000v v218v121 76000 v121 v 18 76000 2 v121 v 18 121 v 即 v11 时取“” 最大车流量 F 为 1900 辆/小时 (2)当 l5 时,F, 76000v v218v20 5 76000 v100 v 18 F2000, 76000 2 v100 v 18 当且仅当 v,即 v10 时
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