2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试:47 空间向量及其应用 Word版含解析.pdf
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1、考点测试 47 空间向量及其应用 高考概览 本考点是高考必考知识点,考查题型为选择、填空题、解答题,中等难度 考纲研读 1了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置 2会简单应用空间两点间的距离公式 3了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示 4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 5掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共 线与垂直 一、基础小题 1空间四边形 ABCD 中,已知 M,G 分别为 BC,CD 的中点,则向量 (AB 1 2 )( )BD BC A B C DAG CG BC 1 2BC 答案 A 解析
2、 如图所示, (),故选 A 1 2 BD BC BG AB BG AG 2分别以棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB,AD,AA1所在的直 线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则四边形 AA1B1B 的对角线的交点的坐标 为( ) A0, B,0, 1 2 1 2 1 2 1 2 C,0 D, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 B 解析 设所求交点为 O,在空间直角坐标系中,点 A1(0,0,1),B(1,0,0), 则(1,0,0),(0,0,1),故 ,0,即对角线的交点坐标为 ,0,AB AA1 AO 1 2 1 2 1 2 ,故选 B 1 2 3
3、若向量 a(2,2,2),b(2,0,4),则 a 与 b 的夹角的余弦值为( ) A B C D0 4 85 85 69 85 15 15 答案 C 解析 cosa,b ab |a|b| 2 28 2 3 2 5 15 15 4设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O,球面上的两个点 A,B 的 坐标分别为 A(1,2,2),B(2,2,1),则|AB|等于( ) A18 B12 C3 D223 答案 C 解析 |AB|3 1222222122 5在空间四边形 ABCD 中,( )AB CD AC DB AD BC A1 B0 C1 D不确定 答案 B 解析 如图, 设 a, b, c,
4、则(ba)(c)(cDA DB DC AB CD AC DB AD BC a)b(a)(cb)bcaccbabacab0 6在正方体 ABCDA1B1C1D1中,给出以下向量表达式: ();();()2;(A1D1 A1A AB BC BB1 D1C1 AD AB DD1 B1D1 )A1A DD1 其中能够化简为向量的是( )BD1 A B C D 答案 A 解析 ();A1D1 A1A AB AD1 AB BD1 ();BC BB1 D1C1 BC1 D1C1 BD1 ()22;AD AB DD1 BD DD1 BD1 () 综上, 符合题意 故选 AB1D1 A1A DD1 B1D DD
5、1 B1D1 BD1 7 在空间直角坐标系中, 已知ABC 的顶点坐标分别为 A(1, 1, 2), B(5, 6, 2),C(1,3,1),则边 AC 上的高 BD( ) A5 B C4 D2415 答案 A 解析 设,(0, 4, 3), 则(0, 4, 3),(4, 5, 0),AD AC AC AD AB (4, 45, 3) 由0, 得 , 所以4, , 所以|BD AC BD 4 5 BD 9 5 12 5 BD 5故选 A 8已知空间向量 a,b,满足|a|b|1,且 a,b 的夹角为 ,O 为空间直角 3 坐标系的原点, 点 A, B 满足2ab,3ab, 则OAB 的面积为_
6、OA OB 答案 5 3 4 解析 由已知2ab,3ab,得OA OB | ,| OA 2ab27OB 3ab27 cosBOA,sinBOA OA OB |OA |OB | 11 14 5 3 14 SOAB |sinBOA 1 2 OA OB 5 3 4 二、高考小题 9(2014广东高考)已知向量 a(1,0,1),则下列向量中与 a 成 60夹角 的是( ) A(1,1,0) B(1,1,0) C(0,1,1) D(1,0,1) 答案 B 解析 经检验,选项 B 中向量(1,1,0)与向量 a(1,0,1)的夹角的余 弦值为 ,即它们的夹角为 60故选 B 1 2 10(2015浙江高
7、考)已知 e1,e2是空间单位向量,e1e2 若空间向量 b 满 1 2 足 be12, be2 , 且对于任意 x, yR, |b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0, y0 5 2 R),则 x0_,y0_,|b|_ 答案 1 2 2 2 解析 e1,e2是单位向量,e1e2 ,cose1,e2 ,又0e1,e2 1 2 1 2 180, e1, e2 60 不妨把 e1, e2放到空间直角坐标系 Oxyz 的平面 xOy 中, 设 e1(1,0,0),则 e2,再设b(m,n,r),由 be12,be2 ( 1 2, 3 2 ,0)OB ,得m2,n,则b(2, ,r)而x
8、e1ye2是平面xOy上任一向量,由|b(xe1ye2)|1 5 2 33 知点B(2, , r)到平面xOy的距离为1, 故可得r1, 则b(2, , 1), |b|2又332 由|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1 知 x0e1y0e2(2, , 0), 解得 x01, y023 三、模拟小题 11(2018山东临沂模拟)若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2),平面 的法向 量为 n(2,0,4),则( ) Al Bl Cl Dl 与 斜交 答案 B 解析 a(1,0,2),n(2,0,4),即 n2a,故 an,l 12(2018河南安阳联考)设平面 的一个法向量为 n1
9、(1,2,2),平面 的一个法向量为 n2(2,4,k),若 ,则 k( ) A2 B4 C2 D4 答案 D 解析 ,n1n2,由题意可得,k4 2 1 4 2 k 2 13(2018河北衡水月考)正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 E 为上底面 A1C1的 中心若向量 Axy,则实数 x,y 的值分别为( )E AA1 AB AD Ax1,y1 Bx1,y1 2 Cx ,y Dx ,y1 1 2 1 2 1 2 答案 C 14(2018合肥质检)长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB1,BC2,AA13, 点 M 是 BC 的中点,点 PAC1,QMD,则 PQ 长度的最小值为( )
10、 A1 B C D2 4 3 2 3 3 答案 C 解析 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系, 设 P(x0,2x0,33x0), Q(x1,2x1,3),x0, x10,1,所以 PQ x 0x122x0x1 2 233x0 3 2 ,2(x1x 02 2) 227 2(x 02 9) 24 3 当且仅当 x0 ,x1 时,PQ 取得最小值, 2 9 8 9 即 PQmin 4 3 2 3 3 15 (2018贵阳模拟)如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, ACB90, 2AC AA1BC2若二面角 B1DCC1的大小为 60,则 AD 的长为( ) A B23 C2 D 2 2 答
11、案 A 解析 如图, 以 C 为坐标原点, CA, CB, CC1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2) 设 ADa,则 D 点坐标为(1,0,a),(1,0,a),(0,2,2),设平CD CB1 面 B1CD 的一个法向量为 m(x,y,z) 则Error!Error!令 z1, 得 m(a, 1, 1), 又平面 C1DC 的一个法向量为 n(0, 1, 0), 则由 cos60 ,得 ,即 a,故 AD mn |m|n| 1 a22 1 2 22 16(2018北京海淀区一模)正方体
12、 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,若动点 P 在 线段 BD1上运动,则的取值范围是_DC AP 答案 0,1 解析 以 DA 所在的直线为 x 轴,DC 所在的直线为 y 轴,DD1所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 Dxyz 则 D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1) (0,1,0),(1,1,1)DC BD1 点 P 在线段 BD1上运动, 设(,),且 01BP BD1 (,1,)AP AB BP DC BP 10,1DC AP 一、高考大题 1(2018全国卷)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧C
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