2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试:48 立体几何中的向量方法 Word版含解析.pdf
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1、考点测试 48 立体几何中的向量方法 高考概览 本考点是高考必考知识点,题型为解答题,分值为12分,中等难度 考纲研读 1理解直线的方向向量与平面的法向量 2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关 系 3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) 4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问 题,了解向量方法在研究立体几何中的应用 5能用向量法解决空间的距离问题 一、基础小题 1 若平面 , 的法向量分别为 n1(2, 3, 5), n2(3, 1, 4), 则( ) A B C, 相交但不垂直 D以上均不正确 答案 C
2、解析 因为 cosn1n20 且 cosn1,n21,所以 , 相交 n1n2 |n1|n2| 但不垂直 2两平行平面 , 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),且两平面的一个 法向量 n(1,0,1),则两平面间的距离是( ) A B C D3 3 2 2 2 32 答案 B 解析 两平面的一个单位法向量 n0,故两平面间的距离 d| ( 2 2 ,0, 2 2) n0|OA 2 2 3 已知向量 m, n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量, 若 cosm, n ,则 l 与 所成的角为( ) 1 2 A30 B60 C120 D150 答案 A 解析 因为 cosm, n
3、 , 所以 l 与 所成角 满足 sin|cosm, n | 1 2 ,又 ,所以 30 1 20, 2 4如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1,CACC12CB, 则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为( ) A B C D 5 5 5 3 2 5 5 3 5 答案 A 解析 不妨令 CB1,则 CACC12 故 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1), 所以(0,2,1),(2,2,1),BC1 AB1 所以 cos,所以直线 BC1与直线 AB1BC1 AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 41 5 9
4、 5 5 夹角的余弦值为故选 A 5 5 5 在正方体ABCDA1B1C1D1中, M, N分别为棱AA1和BB1的中点, 则sin,CM 的值为( )D1N A B C D 1 9 4 5 9 2 5 9 2 3 答案 B 解析 设正方体的棱长为 2,以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系(如图),可知(2,2,1),(2,2,1),CM D1N cos, ,CM D1N 1 9 sin,CM D1N 4 5 9 6 已知向量 A(2, 2, 1), A(4, 5, 3), 则平面 ABC 的单位法向量是( )B C A, , B , 1
5、 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 C ,1,1 D , , 1 2 1 3 2 3 2 3 答案 D 解析 设平面ABC的一个法向量是n(x, y, z), 则Error!取z1, 得x , y 1 2 1则 n ,1,1,|n| ,故平面 ABC 的单位法向量是 , ,故选 D 1 2 3 2 1 3 2 3 2 3 7 如图, 在四面体 ABCD 中, AB1, AD2, BC3, CD2 ABCDCB3 ,则二面角 ABCD 的大小为( ) 2 A B C D 6 3 5 3 5 6 答案 B 解析 二面角 ABCD 的大小等于 AB 与 CD 所成角的大小AD AB BC
6、, 而 2( )2 2222| |cos, 2|CD AD AB BC CD AB BC CD AB BC AB BC AB |cos, 2|cos, 2222| |cos,CD AB CD BC CD BC CD AB CD BC AB CD AB ,即 1214922cos, ,CD AB CD cos, ,与所成角为,即二面角 ABCD 的大小AB CD 1 2 AB CD 2 3 为 故选 B 2 3 3 二、高考小题 8(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,3 则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( ) A B C D 1 5 5 6 5
7、 5 2 2 答案 C 解析 以 D 为坐标原点,的方向分别为 x,y,z 轴的正方向建立DA DC DD1 空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,),D1(0,0,),所33 以(1,0,),(1,1,),因为 cos,AD1 3DB1 3AD1 DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | ,所以异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为,故选 C 13 2 5 5 5 5 5 9 (经典江西高考)如图, 在长方体 ABCDA1B1C1D1中, AB11, AD7, AA1 12一质点从顶点 A 射向点 E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反
8、射 原理),将第 i1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 Li(i2,3,4),L1AE,将 线段 L1,L2,L3,L4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( ) 答案 C 解析 由对称性知质点经点 E 反射到平面 ABCD 的点 E1(8, 6, 0)处 在坐标平面 xAy 中,直线 AE1的方程为 y x,与直线 DC 的方程 y7 联立得 F由两点间 3 4( 28 3 ,7) 的距离公式得 E1F ,tanE2E1FtanEAE1, 5 3 12 5 E2FE1FtanE2E1F4E2F11248 故选 C L3 L4 E1E2 E2E3 E2F E2F1 4 8 1 2 10(
9、2015四川高考)如右图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在 的平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E,F 分别为 AB,BC 的中点,设异面直 线 EM 与 AF 所成的角为 ,则 cos 的最大值为_ 答案 2 5 解析 建立空间直角坐标系,转化为向量进行求解 以 AB,AD,AQ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系 Axyz, 设正方形边长为 2, M(0, y, 2)(0y2), 则 A(0, 0, 0), E(1, 0, 0), F(2, 1, 0), (1,y,2),|,(2,1,0),|,EM EM y25AF AF 5
10、cos |EM AF | |EM |AF | |y2| 5 y25 2y 5 y25 令 t2y,要使 cos 最大,显然 00),则 A(a,0,0),B(0,a,0),A1(a,0,2),D(0,0,1), E ,1 a 2 a 2 又G 为ABD 的重心, G ,易得 ,(0,a,1)点 E 在面 ABD 上的射影 a 3 a 3 1 3 GE a 6 a 6 2 3 BD 是ABD 的重心 G,G面 ABD0,解得 a2 ,E GE BD GE 1 3 1 3 2 3 (2,2,2)面 ABD,BA1 GE G为面ABD的一个法向量, 设A1B与面ABD所成角为, sin|cos,E
11、GE |,cosA1B 与平面 ABD 所成角的余BA1 |GE BA1 | |GE |BA1 | 4 3 6 3 2 3 2 3 7 3 弦值为,故选 B 7 3 13 (2018九江模拟)在四棱锥 PABCD 中, A(4, 2, 3), A(4, 1, 0),B D A(6,2,8),则这个四棱锥的高 h( )P A1 B2 C13 D26 答案 B 解析 在四棱锥 PABCD 中, A(4, 2, 3),(4, 1, 0),(6,B AD AP 2,8), 设平面 ABCD 的法向量为 n(x,y,z),则Error!即Error!设 y4,则 n1,4, ,所以 cosn,A,所以
12、h|A|cosn,A|2 4 3 P nAP |n|AP | 6832 3 13 3 2 26 26 26 P P 26 26 2故选 B26 14(2018合肥模拟)如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 外一点,且 PA平面 ABCD,PAADAC,点 F 为 PC 中点,则二面角 CBFD 的正切值为( ) A B 3 6 3 4 C D 3 3 2 3 3 答案 D 解析 连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OF以 O 为原点,OB,OC,OF 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 设 PAADAC1,则 BD,所以 B,0,0,F0,0,C0,0,D3 3 2
13、 1 2 1 2 ,0,0 3 2 易知 O0,0 为平面 BDF 的一个法向量C 1 2 由 B, 0, F, 0, , 可求得平面 BCF 的一个法向量为 n(1,C 3 2 1 2 B 3 2 1 2 ,),33 所以 cosn,O,C 21 7 由题图知二面角 CBFD 的平面角为锐角, 所以 sinn, , 所以 tanOC 2 7 7 n,故选 DOC 2 3 3 15 (2018广东珠海四校模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中, AB1, AA1 2,点 E 为 CC1的中点,则点 D1到平面 BDE 的距离为_ 答案 2 3 3 解析 解法一 : 如图,以 D 为坐标原
14、点,以 DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 D(0, 0, 0), B(1, 1, 0), D1(0, 0, 2), E(0, 1, 1), 连接 D1B, 所以(1, 1, 0),(0, 1, 1),(1, 1, 2), 设 n(x, y, z)DB DE BD1 是平面 BDE 的法向量, 所以有Error!即Error!令 x1, 则 y1, z1, 所以面 BDE 的一个法向量为 n(1,1,1),则点 D1到平面 BDE 的距离 d |BD1 n| |n| 2 3 3 解法二:连接 D1B,D1E,由题意可知 BC平面 DD1E,设点
15、 D1到平面 BDE 的距离为 h,由 VD1BDEVBDD1E 得SBDEh SD1DEBC,即 h 1 3 1 3 , 点 D1到平面 BDE 的距离为 S D1DEBC S BDE 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 16 (2018辽宁模拟)如图, 在直三棱柱 A1B1C1ABC 中, BAC , ABAC 2 A1A1,已知 G 与 E 分别是棱 A1B1和 CC1的中点,D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点(不包括端点)若 GDEF,则线段 FD 的长度的取值范围是_ 答案 ,1 5 5 解析 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A1
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