2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教学案含解析.pdf
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1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲传真 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两 个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用 代数方法处理几何问题的思想 1直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:相交、相切、相离 (2)两种研究方法: Error!代数法 联立方程组消去xy 得一元二次方程,b24ac Error!几何法 圆心到直线的距离为d 半径为r 2圆与圆的位置关系 设圆O1:(xa1)2(yb1)2r(r10),圆O2:(xa2)2(yb2)2r(r20) 2 12 2 位置关
2、系 几何法 : 圆心距d与r1,r2 的关系 代数法:两圆方程联立组成方程组 的解的情况 外离dr1r2无解 外切dr1r2一组实数解 相交|r1r2|0 或m0.故选 D. |1m2m| 1m2 2圆x2y22x4y0 与直线 2txy22t0(tR R)的位置关系为( ) A相离 B相切 C相交 D以上都有可能 C C 直线 2txy22t0 恒过点(1, 2), 12(2)2214(2)50, 点(1, 2)在圆x2y22x4y0 内, 直线 2txy22t0 与圆x2y22x4y0 相交, 故选 C. 3圆(x3)2(y3)29 上到直线 3x4y110 的距离等于 1 的点的个数为(
3、 ) A1 B2 C3 D4 C C 如图所示,因为圆心到直线的距离为2,又因为圆的半径为 3,所以 |91211| 5 直线与圆相交,故圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个 规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1几何法:利用d与r的关系. 2代数法:联立方程之后利用判断. 3点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.,上述 方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 圆与圆的位置关系 【例 1】 已知圆C1: (xa)2(y2)24 与圆C2: (xb)2(y2)21 相外切, 则ab 的最大值为( ) A. B. C. D2 6 2 3
4、 2 9 4 3 C C 由圆C1与圆C2相外切,可得213,即(ab)29,ab2222 根据基本(均值)不等式可知ab 2 , ( ab 2) 9 4 当且仅当ab时等号成立故选 C. 拓展探究 把本例中的“外切”变为“内切” ,求ab的最大值 解 由C1与C2内切得1.ab2222 即(ab)21,又ab 2 ,当且仅当ab时等号成立,故ab的最大值为 . ( ab 2) 1 4 1 4 规律方法 判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是 1确定两圆的圆心坐标和半径长; 2利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1r2,|r1r2|的值; 3比较d,r1r2,|r1r2|的大小,
5、写出结论. 已知两圆C1:x2y22x6y10 和C2:x2y210x12y450. (1)求证:圆C1和圆C2相交; (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 解 (1)证明 : 圆C1的圆心为C1(1,3), 半径r1, 圆C2的圆心为C2(5,6), 半径r24,11 两圆圆心距d|C1C2|5,r1r24,|r1r2|4,1111 |r1r2|dr1r2, 圆C1和C2相交 (2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得 4x3y230,两圆的公共弦所在 直线的方程为 4x3y230. 圆心C2(5,6)到直线 4x3y230 的距离3, |201823| 169 故公
6、共弦长为 22.1697 直线与圆的综合问题 考法 1 圆的切线问题 【例 2】 (1)已知圆的方程为x2y21,则在y轴上截距为的切线方程为( )2 Ayx 2 Byx 2 Cyx或yx22 Dx1 或yx 2 (2)(2019惠州第一次调研)过点A(3,4)作圆C: (x2)2(y3)22的切线l, 则切线l 的方程为_ (1 1)C C (2 2)xy70 (1)在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线, 故设2 切线方程为ykx,则1,所以k1,故所求切线方程为yx或yx2 | 2| k21 2 .2 (2)设切线l的方程为ykxb, 点A(3,4)在切线l上, 故 43kb.圆C
7、: (x2)2(y 3)22 的圆心(2,3)到切线l的距离d,可得,解得k1, |2kb3| 1k2 2 |k1| 1k2 2 故b7,切线l的方程为xy70. 考法 2 直线与圆相交的弦长问题 【例 3】 (1)直线xy20 与圆x2y24 相交于A,B两点,则弦AB的长为3 _ (2)设圆x2y22x2y20的圆心为C, 直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点, 若|AB|2 ,则直线l的方程为( )3 A3x4y120 或 4x3y90 B3x4y120 或x0 C4x3y90 或x0 D3x4y120 或 4x3y90 (1 1)2 2 (2 2)B B (1)圆x2y24的圆心为点
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