《2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教学案含解析.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线教学案含解析.pdf(8页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第六节 双曲线第六节 双曲线 考纲传真 1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用 1双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双 曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c 为常数且a0,c0. (1)当 2a|F1F2|时,P点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程
2、1(a0,b0) x2 a2 y2 b2 1(a0,b0) y2 a2 x2 b2 图形 范围xa或xa,yR RxR R,ya或ya 对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点坐标A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a) 渐近线yx b a yx a b 离心率e ,e(1,),其中c c a a2b2 性质 虚轴 线段实A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a,线段B1B2 叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系c2a2b2(ca0,cb0) 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲
3、线,其渐近线方程为yx,离心率为e.2 常用结论 三种常见双曲线方程的设法 (1)若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为Ax2By21(AB0)表示焦点在x轴上的双曲线( ) x2 m y2 n (3)双曲线(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即 0. x2 m2 y2 n2 x2 m2 y2 n2 x m y n ( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( )2 答案 (1) (2) (3) (4) 2双曲线1 的焦距为( ) x2 3 y2 2 A5 B. C2 D155 C C 由双曲线1,易知c2325,所以c,所以双曲线1 的焦距 x2 3 y2 2 5 x2
4、 3 y2 2 为 2.5 3(教材题改编)已知双曲线1(a0)的离心率为 2,则a( ) x2 a2 y2 3 A2 B. C. D1 6 2 5 2 D D 依题意,e 2,2a,则a21,a1. c a a23 a a23 4设P是双曲线1 上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|9, x2 16 y2 20 则|PF2|_. 1717 由题意知|PF1|9ac10, 所以P点在双曲线的左支, 则有|PF2|PF1|2a 8,故|PF2|PF1|817. 5 已知双曲线1(a0,b0)的焦距为 2, 且双曲线的一条渐近线与直线 2xy x2 a2 y2 b2 5 0 垂
5、直,则双曲线的方程为_ y21 由题意可得Error!解得a2,则b1, x2 4 所以双曲线的方程为y21. x2 4 双曲线的定义及应用 1. 已知F1,F2为双曲线C:x2y22 的左、右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则 cosF1PF2( ) A. B. C. D. 1 4 3 5 3 4 4 5 C C 由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2,|PF1|2|PF2|4,则22 cosF1PF2|PF 1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| .选 C. 4 222 2242 2 4 2 2 2 3 4 2 若双曲线1 的左焦点为F, 点P是双曲线右
6、支上的动点,A(1,4), 则|PF|PA| x2 4 y2 12 的最小值是( ) A8 B9 C10 D12 B B 由题意知,双曲线1 的左焦点F的坐标为(4,0),设双曲线的右焦点为B, x2 4 y2 12 则B(4,0), 由 双 曲 线 的 定 义 知 |PF| |PA| 4 |PB| |PA|4 |AB| 4 459,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等号412042 规律方法 双曲线定义的两个应用 一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程; 二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF1|PF2|2a,运用 平方的方法,建立
7、与|PF1|,|PF2|的联系. 双曲线的标准方程 【例 1】 设双曲线与椭圆1 有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐 x2 27 y2 36 标为(,4),则此双曲线的标准方程是_15 1 法一:椭圆1 的焦点坐标是(0,3),设双曲线方程为 y2 4 x2 5 x2 27 y2 36 y2 a2 x2 b2 1(a0,b0), 根据双曲线的定义知 2a| 1502432 1502432 |4,故a2. 又b232225,故所求双曲线的标准方程为1. y2 4 x2 5 法二:椭圆1 的焦点坐标是(0,3)设双曲线方程为1(a0,b0), x2 27 y2 36 y2 a2 x2 b
8、2 则a2b29, 又点(,4)在双曲线上,所以1,15 16 a2 15 b2 联立解得a24,b25.故所求双曲线的标准方程为1. y2 4 x2 5 法三:设双曲线的方程为1(271,则双曲线y21 的离心率的取值范围是 x2 a2 ( ) A(,) B(,2)22 C(1,) D(1,2)2 (2)(2018全国卷)设F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的左,右焦点,O是 x2 a2 y2 b2 坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|OP|,则C的离心率为6 ( ) A. B2 C. D.532 (1 1)C C (2 2)C C (1)由题意得双曲线的离心率e
9、. a21 a e21. a21 a2 1 a2 a1,01,112, 1 a2 1 a2 1e.2 故选 C. (2)不妨设一条渐近线的方程为yx, 则F2到yx的距离db, 在 RtF2PO b a b a |bc| a2b2 中,|F2O|c,所以|PO|a,所以|PF1|a.又|F1O|c,所以在F1PO与 RtF2PO中,根6 据余弦定理得 cosPOF1cosPOF2 ,即 3a2c2(a)20,得 a2c2 6a2 2ac a c 6 3a2c2,所以e . c a 3 考法 2 双曲线的渐近线问题 【例 3】 (1)(2019合肥质检)已知双曲线1(a0,b0)的离心率为,则该
10、 x2 a2 y2 b2 3 双曲线的渐近线方程为_ (2)已知F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点, 若|PF1|PF2| x2 a2 y2 b2 6a,且PF1F2最小内角的大小为 30,则双曲线C的渐近线方程是_ (1)yx (2)xy0 (1)因为e ,所以c2a2b23a2,故ba,22 c a 32 则此双曲线的渐近线方程为yxx. b a 2 (2)由题意,不妨设|PF1|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|PF2|2a,又|PF1| |PF2|6a, 解得|PF1|4a, |PF2|2a.在PF1F2中, |F1F2|2c, 而ca, 所以有|P
11、F2|0,b0)的左焦点为F, 离心率为.若经过F和P(0,4) x2 a2 y2 b2 2 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A.1 B.1 x2 4 y2 4 x2 8 y2 8 C.1 D.1 x2 4 y2 8 x2 8 y2 4 B B 由离心率为, 可知ab,ca, 所以F(a,0), 由题意知kPF222 40 0 2a 1,所以a4,解得a2,所以双曲线的方程为1. 4 2a 22 x2 8 y2 8 规律方法 与双曲线几何性质有关问题的解题策略 1求双曲线的离心率或范围.依据题设条件, 将问题转化为关于a,c的等式或不等式, 解方程或不等式即可求得.
12、 2求双曲线的渐近线方程.依据题设条件,求双曲线中a,b的值或a与b的比值,进 而得出双曲线的渐近线方程. (1)已知方程1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 x2 m2n y2 3m2n 4,则n的取值范围是( ) A(1,3) B(1,)3 C(0,3) D(0,)3 (2)已知双曲线E:1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的 x2 a2 y2 b2 中点为E的两个焦点,且 2|AB|3|BC|,则E的离心率是_ (1 1)A A (2 2)2 2 (1)若双曲线的焦点在x轴上, 则Error!又(m2n)(3m2n)4, m2 1, Error!13m2且n
13、0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 3 ( ) Ayx Byx23 Cyx Dyx 2 2 3 2 A A 因为双曲线的离心率为, 所以 , 即ca.又c2a2b2, 所以(a)2a2b2,3 c a 333 化简得 2a2b2,所以 .因为双曲线的渐近线方程为yx,所以yx.故选 A b a 2 b a 2 2 (2018全国卷)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为, 则点(4,0)到C x2 a2 y2 b2 2 的渐近线的距离为( ) A. B2 C. D22 3 2 2 2 D D 法一:由离心率e ,得ca,又b2c2a2,得ba,所以双曲线C的渐 c a 22 近线方程为yx.由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故 4 11 2 选 D. 法二:离心率e的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是yx,由点到直线的距2 离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选 D. 4 11 2 3 (2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx, 则a_. x2 a2 y2 9 3 5 5 5 双曲线的标准方程为1(a0), x2 a2 y2 9 双曲线的渐近线方程为yx. 3 a 又双曲线的一条渐近线方程为yx,a5. 3 5 自我感悟:_ _ _
链接地址:https://www.31doc.com/p-3347305.html