2020版高考数学大一轮复习第十二章不等式选讲第71讲不等式的证明课时达标理含解析新人教A.pdf
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1、第 71 讲 不等式的证明第 71 讲 不等式的证明 课时达标 课时达标 1已知a,b都是正数,且ab,求证:a3b3a2bab2. 证明 (a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a,b都是正数,所以ab0.又因为 ab,所以(ab)20. 于是(ab)(ab)20,即(a3b3)(a2bab2)0, 所以a3b3a2bab2. 2(2019襄阳四中质检)设a,b,c,d均为正数,且abcd.证明: (1)若abcd,则;abcd (2)是|ab|cd得()2()2. abcd 因此.abcd (2)(必要性)若|ab|cd. 由(1)得.abcd (充分性)若,则()2()2,a
2、bcdabcd 即ab2cd2.因为abcd,所以abcd.abcd 于是(ab)2(ab)24ab是|ab|cd矛盾,abcd 故.abcd (2)(充分性)假设|ab|cd|, 则有(ab)24ab(cd)24cd, 由此得4ab4cd,2 2,()2()2,于是,这与矛盾,abcdabcdabcdabcd 从而|ab|.必要性得证abcd 综上,是|ab|1, 1 2 即10,b0,a3b32.证明: (1)(ab)(a5b5)4; (2)ab2. 证明 (1)(ab)(a5b5) a6ab5b6a5b(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4 ab(a2b2)24. (2)因为(ab)
3、3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2 3ab2 4 ,所以(ab)38, 3ab3 4 因此ab2. 6(2019东北三校二模)已知a,b,c0,abc1.求证: (1);abc3 (2) . 1 3a1 1 3b1 1 3c1 3 2 证明 (1)因为由柯西不等式得()2(111)2(1212abcabc 12)()2()2()23,当且仅当,即abc 时,等号成立,所abc 1 a 1 b 1 c 1 3 以.abc3 (2)因为由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1) ( 1 3a1 1 3b1 1 3c1) 29(当且仅当abc 时,等号 ( 3a1 1 3a1 3 b1 1 3b1 3 c1 1 3c1) 1 3 成立),又abc1,所以 69,所以 . ( 1 3a1 1 3b1 1 3c1) 1 3a1 1 3b1 1 3c1 3 2
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