2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义:第七章 第三节 基本不等式 Word版含答案.pdf
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1、第三节第三节基本不等式基本不等式 1基本不等式基本不等式ab a b 2 (1)基本不等式成立的条件:基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当等号成立的条件:当且仅当 ab. 2几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a,bR);(2) 2(a,b 同号同号); b a a b (3)ab 2(a, ,bR);(4) 2 (a,bR); ( ( a b 2 ) )( ( a b 2 ) ) a2b2 2 (5) (a0,b0) 2ab a b ab a b 2 a2b2 2 3算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 设设 a0,b0,则,则 a,
2、b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为 :的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为 : a b 2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题 已知已知 x0,y0,则,则 (1)如果如果 xy 是定值是定值 p,那么当且仅当,那么当且仅当 xy 时,时,xy 有最小值是有最小值是 2(简记:积定和最小简记:积定和最小)p (2)如果如果 xy 是定值是定值 q,那么当且仅当,那么当且仅当 xy 时,时,xy 有最大值是有最大值是(简记:和定积最大简记:和定积最大) q2
3、4 注:注:1此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指 求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立 “一正”指正数,“二定”指 求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立. 2连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立. 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打“” ,错的打“”对的打“” ,错的打“”) (1)当当 a0,b0 时,时,.( ) a b 2 ab (2)两个不等式两个不等式 a2b22ab 与成立的条件是相同的与成立的条件是相同的( ) a b 2
4、ab (3)x0 且且 y0 是 是 2 的充要条件的充要条件( ) x y y x (4)函数函数 f(x)cos x,x的最小值等于的最小值等于 4.( ) 4 cos x ( ( 0, , 2) ) 答案:答案:(1) (2) (3) (4) 二、选填题二、选填题 1设设 x0,y0,且,且 xy18,则,则 xy 的最大值为的最大值为( ) A80 B77 C81 D82 答案:答案:C 2设设 0ab,则下列不等式中正确的是,则下列不等式中正确的是( ) Aab Babab a b 2 ab a b 2 Cab D.abab a b 2 ab a b 2 解析 : 选解析 : 选 B
5、 因为 因为 0ab, 所以, 所以 a()0, 故, 故 a; b0,abaabab a b 2 b a 2 故故 b;由基本不等式知,综上所述,;由基本不等式知,综上所述,ab,故选,故选 B. a b 2 a b 2 abab a b 2 3函数函数 f(x)x 的值域为 的值域为( ) 1 x A2,22,2 B2,) C(,22,) DR 解析:选解析:选 C 当 当 x0 时,时,x 2 2. 1 x x1 x 当当 x0 时,时,x0. x2 2. 1 x x 1 x 所以所以 x 2. 1 x 所以所以 f(x)x 的值域为 的值域为(,22,) 1 x 4若实数若实数 x,y
6、 满足满足 xy1,则,则 x22y2的最小值为的最小值为_ 答案:答案:2 2 5若若 x1,则,则 x的最小值为的最小值为_ 4 x 1 解析:解析:xx11415. 4 x 1 4 x 1 当且仅当当且仅当 x1,即,即 x3 时等号成立时等号成立 4 x 1 答案:答案:5 考考点点一一 利利用用基基本本不不等等式式求求最最值值全全析析考考法法过过关关 (一一) 拼凑法 拼凑法利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例 1 例 1 (1)已知已知 0x1,则,则 x(43x)取得最大值时取得最大值时 x 的值为的值为_ (2)已知已知 x ,则 ,则 f(x)4x2的最大值为的最大值
7、为_ 5 4 1 4x 5 (3)函数函数 y(x1)的最小值为的最小值为_ x22 x 1 解析 解析 (1)x(43x) (3x)(43x) 2 ,当且仅当 ,当且仅当 3x43x,即,即 x 1 3 1 3 3x 4 3x 2 4 3 2 3 时,取等号故所求时,取等号故所求 x 的值为的值为 . 2 3 (2)因为因为 x ,所以 ,所以 54x0, 5 4 则则 f(x)4x23231.当且仅当当且仅当 54x, 即, 即 x 1 4x 5 ( ( 54x 1 5 4x) ) 1 5 4x 1 时,取等号时,取等号 故故 f(x)4x2的最大值为的最大值为 1. 1 4x 5 (3)
8、y x22 x 1 x 2 2x1 2x2 3 x 1 x 1 2 2 x1 3 x 1 (x1)222. 3 x 1 3 当且仅当当且仅当 x1,即,即 x1 时,取等号时,取等号 3 x 1 3 答案 答案 (1) (2)1 (3)22 2 3 3 解解题 题技技法法 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为 定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼 系数、凑常数是关键 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法
9、凑成和为定值或积为 定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼 系数、凑常数是关键 (二二) 常数代换法 常数代换法利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例 2 已知例 2 已知 a0,b0,ab1,则 的最小值为,则 的最小值为_ 1 a 1 b 解析 因为解析 因为 ab1, 所以 所以 (ab)222 224.当且仅当当且仅当 ab 时, 取等号 时, 取等号 1 a 1 b ( ( 1 a 1 b) ) ( ( b a a b) ) b a a b 1 2 答案 答案 4 变 变式 式发 发散散 1(变条件变条件)将条件“将条件“ab1”改为“”
10、改为“a2b3” ,则 的最小值为” ,则 的最小值为_ 1 a 1 b 解析:因为解析:因为 a2b3,所以,所以 a b1. 1 3 2 3 所以 所以 1 a 1 b ( ( 1 a 1 b) )( ( 1 3a 2 3b) ) 12 1 3 2 3 a 3b 2b 3a a 3b 2b 3a 1.当且仅当当且仅当 ab 时,取等号时,取等号 2 2 3 2 答案:答案:1 2 2 3 2(变设问变设问)保持本例条件不变,则的最小值为保持本例条件不变,则的最小值为_ ( ( 11 a) )( (1 1 b) ) 解析:解析: ( ( 11 a) )( (1 1 b) ) ( (1 a b
11、 a ) )( ( 1a b b ) ) 52549.当且仅当当且仅当 ab 时,取等号 时,取等号 ( ( 2b a) )( (2 a b) ) ( ( b a a b) ) 1 2 答案:答案:9 解解题 题技技法法 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值根据已知条件或其变形确定定值(常数常数); (2)把确定的定值把确定的定值(常数常数)变形为变形为 1; (3)把把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形
12、式; (4)利用基本不等式求解最值 利用基本不等式求解最值 (三三) 消元法 消元法利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 例 3 已知例 3 已知 x0,y0,x3yxy9,则,则 x3y 的最小值为的最小值为_ 解析 法一解析 法一(换元消元法换元消元法):由已知得:由已知得 x3y9xy, 因为因为 x0,y0,所以,所以 x3y2,3xy 所以所以 3xy 2,当且仅当 ,当且仅当 x3y,即,即 x3,y1 时取等号,即时取等号,即(x3y)212(x3y) ( ( x 3y 2 ) ) 1080. 令令 x3yt,则,则 t0 且且 t212t1080, 得得 t6,即,即 x3
13、y 的最小值为的最小值为 6. 法二法二(代入消元法代入消元法):由:由 x3yxy9, 得得 x, 9 3y 1 y 所以所以 x3y3y 9 3y 1 y 93y3y 1 y 1 y 9 3y2 1 y 3 1 y 2 6 1y 12 1 y 3(1y)62 6 12 1 y 3 1y 12 1 y 1266.即即 x3y 的最小值为的最小值为 6. 答案 答案 6 解解题 题技技法法 通过消元法利用基本不等式求最值的策略通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑 出“和为常数”或“积为常数” ,最后利用基本不等式求最
14、值 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑 出“和为常数”或“积为常数” ,最后利用基本不等式求最值 (四四) 利用两次基本不等式求最值 利用两次基本不等式求最值 例 4 已知例 4 已知 ab0,那么,那么 a2的最小值为的最小值为_ 1 b a b 解析 由解析 由 ab0,得,得 ab0, b(ab) 2 . ( ( ba b 2 ) ) a2 4 a2a22 4, 1 b a b 4 a2 a2 4 a2 当且仅当当且仅当 bab 且且 a2,即,即 a,b时取等号时取等号 4 a2 2 2 2 a2的最小值为的最小值为 4. 1 b a b 答案
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