2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测:(十七) 利用导数证明不等式 Word版含解析.pdf
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1、课时跟踪检测课时跟踪检测(十七十七) 利用导数证明不等式 利用导数证明不等式 1(2019唐山模拟唐山模拟)已知已知 f(x) x2a2ln x,a0. 1 2 (1)求函数求函数 f(x)的最小值;的最小值; (2)当当 x2a 时,证明:时,证明: a. f x f 2a x 2a 3 2 解:解:(1)函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(0,), f(x)x. a2 x x a x a x 当当 x(0,a)时,时,f(x)0,f(x)单调递减;单调递减; 当当 x(a,)时,时,f(x)0,f(x)单调递增单调递增 所以当所以当 xa 时,时,f(x)取得极小值,也是最小值,且取得
2、极小值,也是最小值,且 f(a) a2a2ln a. 1 2 (2)证明:由证明:由(1)知,知,f(x)在在(2a,)上单调递增,上单调递增, 则所证不等式等价于则所证不等式等价于 f(x)f(2a) a(x2a)0. 3 2 设设 g(x)f(x)f(2a) a(x2a), 3 2 则当则当 x2a 时,时, g(x)f(x) ax a 3 2 a2 x 3 2 0, 2x a x 2a 2x 所以所以 g(x)在在(2a,)上单调递增,上单调递增, 当当 x2a 时,时,g(x)g(2a)0, 即即 f(x)f(2a) a(x2a)0, 3 2 故故 a. f x f 2a x 2a 3
3、 2 2(2018黄冈模拟黄冈模拟)已知函数已知函数 f(x)ln xe x( R) (1)若函数若函数 f(x)是单调函数,求是单调函数,求 的取值范围;的取值范围; (2)求证:当求证:当 0x1x2时,时,e1 x2 e1 x1 1. x2 x1 解:解:(1)函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(0,), f(x)ln xe x, , f(x) e x , x xe x x 函数函数 f(x)是单调函数,是单调函数,f(x)0 或或 f(x)0 在在(0,)上恒成立,上恒成立, 当函数当函数 f(x)是单调递减函数时,是单调递减函数时, f(x)0, , 0, 即, 即 xe x 0
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