初高中数学衔接预习教材（共19讲）：第13讲 集合及其运算（必修1第一章）.pdf

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1、第第 13 讲讲 集合及其运算集合及其运算 1集合的有关概念集合的有关概念 在小学和初中，我们已经解除过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集73x 合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆） ， 1.1 集合的概念集合的概念 那么集合的定义是什么？看下面的例子： （1）120 以内所有的质数； （2）高一 30 班所有学生； （3）我们从 20012010 年间发射的所有的人造卫星； （4）所有正方形； （5）方程的所有实数根； （6）四大洋 2 320xx 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些

2、元素组成的总体叫做集合，简称集 例如：五岳“泰山、衡山、华山、恒山、嵩山”能组成一个集合； “120 以内所有的素数”也能组成一个集合； “四大洋”可以组成一个集合. 以上我们是用自然语言描述一个集合，我们称此方法为“描述法描述法” 以上三个集合我们还可以表示成： 、泰山、衡山、华山、恒山、嵩山 、2,3,5,7,11,13,17,19太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋 像这样把集合一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法列举法 为 简 便 起 见 ， 集 合 通 常 用 大 写 字 母 表 示 ， 如 集 合、等 等 ， 例 如 集 合ABCPQ ， 同时， 我们用小写拉丁字

3、母、A 泰山、衡山、华山、恒山、嵩山2,3,5,7,11,13,917,1B abc 表示集合中的元素 【例【例 1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A某班个子较高的同学 B相当大的实数 C我国著名数学家 D倒数等于它本身的数 练习 1下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A所有的正数 B等于 2 的数 C接近于 0 的数 D不等于 0 的偶数 【例【例 2】用列举法表示下列集合： （1）不大于 10 的非负偶数集；（2）自然数中不大于 10 的质数集；（3）方程的解 2 2150xx 1.2 元素与集合的关系元素与集合的关系 一般地， 如果 是集合的元素， 就说属于， 记作； 如果

4、 不是集合的元素， 就说不属于，aAaAaAaAaA 记作aA 【例【例 3】用符号“”或“”填空 （1）设为所有亚洲国家组成的集合，则：A 中国_，美国_，印度_，英国_AAAA （2）若的解集记为，则_； 2 xxA1A （3）若的解集记为，则_； 2 60xxB1B （4）所有满足的整数组成的集合记为，则_，_110xxC8B9.1B 1.3 集合中元素的特性集合中元素的特性 对于任何一个元素和任意一个集合，元素要么在集合中，要么不在中，只有这两种关系这是集aAaAA 合元素的第一个特性： 一个给定的集合中的元素是互不相同的，不能重复出现例如，若，则，这是集合元素的第 , Aa bab

5、二个特性： 集合中的元素没有一定的顺序例如集合，集合也可以写成，等等这 , , Aa b cA , , Ab c a , , Ab a c 体现了集合元素的第三个特性： 1.4 特定集合及其记法特定集合及其记法 非负整数集（也叫自然数集） ，记作 N，即 ；0,1,2,3,N 正整数集，记作或，即 ； 整数集，记作，即； * NN * 1,2,3,NNZ2, 1,0,1,2,Z 有理数集，记作； 实数集，记作QR 1.5 集合的表示集合的表示 1.5.1 列举法列举法 把集合中所有的元素一个一个的列举出来，写在大括号表示集合 例如，“120 以内所有的素数”组成的集合，可以表示成 50100

6、内的所有整数组成的集合 所有正奇数组成的集合 注意: 与不同， 表示一个元素， 表示一个集合，该集合只有一个元素a aa a 1.5.2 描述法描述法 【例【例 4】用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程的所有根组成的集合；（2）大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合 2 20x 1.5.3 图示法图示法 数轴表示，例如，不等式的解集为，可以表示为73x |10xR x 坐标平面表示法（用点和图形来表示） 19 17 1311 7 5 32 用韦恩图（Venn 图）表示，例如集合“120 以内所有的素数”，如上图 【例【例 5】若，求的值 2 1, 1,aaa 练习 1：已知集合，若

7、，求的值3,21Aaa3A a 练习 2：已知集合包含三个元素，若，求的值A1,0,m 2 mAm 2. 集合间的基本关系集合间的基本关系 2.1 子集子集 一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说集合 A 包含 于集合 B，或者说集合 B 包含集合 A，这时称集合 A 是集合 B 的子集 记作，或，读作：A 包含于 B，或 B 包含 AABBA 用符号语言表示为：任意，则 例如：，xAxBAB0,2,4,6,8 偶数梯形四边形 用 Venn 图（韦恩图）表示为图（1）和图（2）： B A 图（1） 图（2） 当集合 A 不包含于集合 B

8、，或集合 B 不包含 A 时，则记作或 例如：ABBA三角形梯形 有几个方面要注意的 （1）有两种可能：是的一部分；与是同一个集合ABABAB （2）“”与“”的区别：“”用于元素与集合之间；“”用于集合与集合之间 （3）子集的传递性：，且，那么ABBCAC （4） 集合相等， 如果集合 A 与集合 B 中的元素是一样的， 那么 对于集合 A， B， 若有，ABABBA 则有，如上面图（2） AB 2.2 真子集真子集 对于两个集合 A，B，如果，但，我们就说集合 A 是集合 B 的真子集，ABAB 记作(或)，读作 A 真包含于 B，或 B 真包含 AABBA 2.3 空集空集 把不含任何元

9、素的集合叫做空集，记作 规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合 A，均有：A 注：空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合 A，均有：A 2.4 有限集合元素的个数有限集合元素的个数 集合的所有子集为：、，共有 2 个子集； a a 集合的所有子集为：、，共有 4 个子集； , a b a b , a b 集合的所有子集为：、，共 8 个子集； , , a b c a b c , a b , a c , b c , , a b c 结论：结论：含有个元素的集合的所有子集个数是，所有真子集的个数，非空真子集的n 123 ,., n a a aa2n21 n 个数为22 n 【例【例 1

10、】 写出集合及的子集1,21,2,3 练习 1：已知集合，写出所有满足条件的集合 A1,21,2,3,4A 【例【例 2】设集合,则=（ ）,Rba b a b aba, 0, 1 20092010 ab A1 B C2 D 12 练习 2： 已知集合，且 A 与 B 相等，求实数，的值1, , Aa b 2 ,Ba aabab 【例【例 3】 已知集合，若，求实数的值 2 |60Ax xx |10Bx ax BAa 练习 3：已知集合，若，求实数 m 的值 41, Am ， 4,5B BA 【例【例 4】设集合,若,求实数的取值范围0310 2 xxxA121mxmxBAB m 练习 4若，

11、若，求实数 m 的取值范围 | 16Axx |121Bx mxm BA 1若集合中元素是的三边长，则一定不是（ ）cbaM,ABCABC A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 2定义集合运算， ，设，则ByAxxyzz, 2 , 1A2 , 0B 集合的所有元素之和是（ ） A0 B 2 C3 D6 3集合 A，C，则 C 中元素的个数是（ ）3,58 , 6 , 4 , 2B( , ),x y xA yB A9 B 8 C3 D4 4满足的集合 M 的个数是（ ）1,0,1 1,0,1,2,3,4M A4 B 6 C7 D8 5已知全集 U=R，则正确表示集合 M=1，0，

12、1和 N=x关系的韦恩（Venn）图是（ ） 2 0xx A B C D 6设集合，若，则实数的值为 a, 2 , 1aa 2 , 1Aa 7若集合至多有一个元素，则的取值范围是 RaxaxxA, 01 2 a 8. 集合，若，求实数的取值范围|3 ,|15Ax axaBx xx 或ABa 3.集合的基本运算集合的基本运算 3.1 交集与并集交集与并集 由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集， 记作，即 用 Venn 图表示为图（1） AB |ABx xAxB或 B A B A 图（1） 图（2）ABAB 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合

13、，称为集合 A 与 B 的交集， 记作，即 用 Venn 图表示为图（2） AB |ABx xAxB且 性质: 【例【例 1】 设集合，求，4,5,6,8A 3,5 7,8B ，ABAB 【例【例 2】设集合，求， | 12Axx |13BxxABAB 练习 1设集合，求， | 31Axx |14BxxABAB 3.2 全集与补集全集与补集 如果一个集合含有我们研究的全部的各个集合的全部元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U 对于集合 A 而言,由全集 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合， 叫做集合 A 相对于全集U 的补集， 简称集合 A 的补集，记作，即 用 Venn 图（韦恩图）

14、表示为： U C A |, U C Ax xUxA且 【例【例 3】设，求， |9Ux x是小于 的正整数1,2,3A 3,4,5,6B U C A U C B 【例【例 4】设，求 |210Axx R C A 【例【例 5】 设，求实数的值 2 2,3,23Uaa21,2Aa5 U C A a 【例【例 6 】 设集合， 求， |20Ax x |3Bx x R C A R C B()() RR C AC B()() RR C AC B() R CAB () R CAB A 组组 1设集合，（ ）| 32Mmm Z| 13NnnMNZ则， AB CD01 ，101 ， ，012， ，1012

15、， ， ， 2已知全集，集合，则集合（ ）12 3 4 5U ， ， ， ，1,3A 3,4,5B () U CAB A B C D34,53,4,512 4 5， ， ， 3设集合，则 A= |02Axx 1 |1 2 x Bx x B 4若，则 3AxR x0BxR xAB 5已知集合，且，则实数的取值范围是_ |1Ax x|Bx xaABRa B 组组 1设全集,则( )8 , 6 , 5 , 3 , 1U 6 , 1A8 , 6 , 5B BACU)( A B C D 68 , 58 , 68 , 6 , 5 , 3 2设全集,则为( )ZU 2 , 1 , 0 , 1AxxxB 2

16、BCA U A B C D 2 , 10 , 1 1 , 0 2 , 1 3若集合,则 A=_11, 2 xxyyA1 0 , 2xxyyBB 4 定义集合运算:,设集合,则集合的所有元素ByAxyxxyzzBA,),( 1 , 0A3 , 2BBA 之和为( ) A0 B 6 C12 D18 5若 A、B、C 为三个集合，则一定有（ ）ABBC A B C D CAAC CA A 6已知全集,集合,则集合中元素的5 , 4 , 3 , 2 , 1U023 2 xxxAAaaxxB,2)(BACU 个数为 7若,则 的正整数是小于9nnU 是奇数nUnA的倍数是3nUnB)(BACU 8已知集

17、合,且,则实数的取值范围是 axxA21xxBRBCA R )(a 9 已知集合，集合，若，求实数 a 的取值集合04 2 xxA02axxBAB 10 已知集合，集合，若满足 ，求实数 a 的值71xxA521axaxB73xxBA 11 已知方程0 2 baxx （1）若方程的解集只有一个元素，求实数 a，b 满足的关系式； （2）若方程的解集有两个元素分别为 1，3，求实数 a，b 的值 12 已知集合， 若满足， 求实数 a 的取31xxA, 2 AxyxyB,2AxaxyyCBC 值范围 第第 13 讲讲 集合及其运算练习答案集合及其运算练习答案 2. 集合间的基本关系集合间的基本关

18、系 1D 2D 3B 4C 5B 6 701aa或 4 1 0aaa或 8解：因为，则有或，所以或AB31a 5a 4a 5a 3集合的基本运算答案集合的基本运算答案 A 组组 1B 2D 3 解:得 A= B= |01xx |02xx | 21xx AB= |01xx 4 （0，3）因为所以| 33 ,|0 ,AxxBx x (0,3)AB I 5 a1 解:因为 AB=R，画数轴可知，实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边，则有 a1 B 组组 1B 2A 3D 4D 解析: ,故的所有元素之和为 1812, 6 , 0BABA 5A 提示：由知， ABBC,ABB ABCABC 62 7 8 ,8 , 4 , 221xxxBCR或RBCA R )(2a 90-1,1； 10 ； 11 (1) a2-4b=0 (2) a=-4, b=3 12 2a32 a