无符号数和有符号数.ppt
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1、6.1 无符号数和有符号数,6.3 定点运算,6.2 数的定点表示和浮点表示,6.4 浮点四则运算,6.5 算术逻辑单元,6.1 无符号数和有符号数,一、无符号数,8 位 0 255,16 位 0 65535,带符号的数 符号数字化的数,+ 0.1011,+ 1100, 1100, 0.1011,真值 机器数,1. 机器数与真值,二、有符号数,2. 原码表示法,带符号的绝对值表示,(1) 定义,整数,x 为真值,n 为整数的位数,如,x = +1110,x原 = 0 , 1110,x原 = 24 + 1110 = 1 , 1110,用 逗号 将符号位 和数值位隔开,小数,x 为真值,如,x =
2、 + 0.1101,x原 = 0 . 1101,x = + 0.1000000,x原 = 0 . 1000000,用 小数点 将符号 位和数值位隔开,用 小数点 将符号 位和数值位隔开,(2) 举例,例 6.1 已知 x原 = 1.0011 求 x,解:,例 6.2 已知 x原 = 1,1100 求 x,解:,0.0011,1100,由定义得,由定义得,例 6.4 求 x = 0 的原码,解:,设 x = +0.0000,例 6.3 已知 x原 = 0.1101 求 x,解:, x = + 0.1101,同理,对于整数,+ 0原 = 0,0000,+0.0000原 = 0.0000,根据 定义
3、 x原 = 0.1101,原码的特点:,简单、直观,但是用原码做加法时,会出现如下问题:,能否 只做加法 ?,加法 正 正,加,加法 正 负,加法 负 正,加法 负 负,减,减,加,正,可正可负,可正可负,负,(1) 补的概念,时钟,逆时针,顺时针,3. 补码表示法,时钟以 12为模,称 + 9 是 3 以 12 为模的补数,结论,一个负数加上 “模” 即得该负数的补数,两个互为补数的数 它们绝对值之和即为 模 数,计数器(模 16), 1011,1011,0000,+ 0101,1011,10000,(mod24),(2) 正数的补数即为其本身,两个互为补数的数,分别加上模,结果仍互为补数,
4、 + 0101 + 0101,+ 0101,24+1 1011,1,0101,用 逗号 将符号位 和数值位隔开,(mod24),可见,?,+ 0101,0101,0101,1011,0101,+,(mod24+1),100000,=,(3) 补码定义,整数,x 为真值,n 为整数的位数,如,x = +1010,= 100000000,x补 = 0,1010,1,0101000,用 逗号 将符号位 和数值位隔开,小数,x 为真值,x = + 0.1110,如,x补 = 0.1110,1.0100000,= 10.0000000,(4) 求补码的快捷方式,= 100000,= 1,0110,101
5、01 + 1,= 1,0110,又x原 = 1,1010,+ 1,(5) 举例,解:,x = + 0.0001,解:由定义得,x = x补 2,= 1.0001 10.0000,x原 = 1.1111,由定义得,例 6.7,解:,x = x补 24+1,= 1,1110 100000,x原 = 1,0010,求 x,已知 x补 = 1,1110,由定义得,真值,0, 1000110,1, 0111010,0.1110,1.0010,0.0000,0.0000,1.0000,0,1000110,1,1000110,0.1110,1.1110,0.0000,1.0000,不能表示,练习,求下列真值
6、的补码,由小数补码定义,= 1000110,= 1000110,x补 x原,4. 反码表示法,(1) 定义,整数,如,x = +1101,x反 = 0,1101,= 1,0010,x 为真值,n 为整数的位数,小数,x = +0.1101,x反 = 0.1101,= 1.0101,如,x 为真值,(2) 举例,例 6.10 求 0 的反码,设 x = +0.0000,x = 0.0000,+0.0000反= 0.0000, 0.0000反= 1.1111, + 0反 0反,解:,同理,对于整数,+0反= 0,0000, 0反= 1,1111,例6.9 已知 x反 = 1,1110 求 x,=
7、1,1110 11111,= 0001,例6.8 已知 x反 = 0,1110 求 x,解:,由定义得 x = + 1110,解:,三种机器数的小结,对于正数,原码 = 补码 = 反码,-0,-1,-128,-127,-127,-126,-3,-2,-1,例6.11:设机器数字长为 8 位(其中一位为符号位),对于整数,当其分别代表无符号数、原码、补码和反码时,对应的真值范围各为多少?,例6.12,解:,5. 移码表示法,补码表示很难直接判断其真值大小,如,十进制,x + 25,+10101 + 100000,+11111 + 100000,错,错,正确,正确,0,10101,1,01011,
8、0,11111,1,00001,+10101, 10101,+11111, 11111,= 110101,= 001011,= 111111,= 000001,二进制,补码,(1) 移码定义,x 为真值,n 为 整数的位数,移码在数轴上的表示,如,x = 10100,x移 = 25 + 10100,用 逗号 将符号位 和数值位隔开,x = 10100,x移 = 25 10100,= 1,10100,= 0,01100,(2) 移码和补码的比较,设 x = +1100100,x移 = 27 + 1100100,x补 = 0,1100100,设 x = 1100100,x移 = 27 110010
9、0,x补 = 1,0011100,补码与移码只差一个符号位,= 1,1100100,= 0,0011100,1,0,0,1,(3) 真值、补码和移码的对照表,- 1 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0,+ 1 1 1 1 1,0 0 0 0 0 0,1 1 1 1 1 1,0 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0,当 x = 0 时,+0移 = 25 + 0, 0移 = 25 0, +0移 = 0移,当 n = 5 时,最小的真值为 25, 100000移,可见,最小真值的移码为全 0,(4) 移码的特点,用移码表示浮点数的阶码,能方便地判断浮点数的阶码大小,= 1,00000,=
10、 1,00000,= 100000,= 000000,= 25100000,6.2 数的定点表示和浮点表示,小数点按约定方式标出,一、定点表示,定点机,小数定点机,整数定点机,原码,补码,反码,(1 2-n) +(1 2-n),(2n 1) +( 2n 1), 1 +(1 2-n), 2n +( 2n 1),(1 2-n) +(1 2-n),(2n 1) +( 2n 1),二、浮点表示,计算机中 r 取 2、4、8、16 等,当 r = 2,N = 11.0101,= 0.110101210,= 1.1010121,= 1101.012-10,= 0.001101012100,计算机中 S 小
11、数、可正可负,j 整数、可正可负,规格化数,1. 浮点数的表示形式,Sf 代表浮点数的符号,n 其位数反映浮点数的精度,m 其位数反映浮点数的表示范围,jf 和 m 共同表示小数点的实际位置,2. 浮点数的表示范围,2( 2m1)( 1 2n),2( 2m1)2n,2( 2m1)( 1 2n),2( 2m1)2n,215 ( 1 2-10),2-15 2-10,2-15 2-10,215 ( 1 2-10),上溢 阶码 最大阶玛 下溢 阶码 最小阶码 按 机器零 处理,练习,设机器数字长为 24 位,欲表示3万的十进制数,试问在保证数的最大精度的前提下,除阶符、数符各 取1 位外,阶码、尾数各
12、取几位?,满足 最大精度 可取 m = 4,n = 18,解:,3. 浮点数的规格化形式,r = 2,尾数最高位为 1,r = 4,尾数最高 2 位不全为 0,r = 8,尾数最高 3 位不全为 0,4. 浮点数的规格化,r = 2,左规 尾数左移 1 位,阶码减 1,右规 尾数右移 1 位,阶码加 1,r = 4,左规 尾数左移 2 位,阶码减 1,右规 尾数右移 2 位,阶码加 1,r = 8,左规 尾数左移 3 位,阶码减 1,右规 尾数右移 3 位,阶码加 1,基数 r 越大,可表示的浮点数的范围越大,基数不同,浮点数 的 规格化形式不同,基数 r 越大,浮点数的精度降低,例如:,最大
13、正数,= 215( 1210 ),最小正数,最大负数,最小负数,= 21521,= 215( 12 10 ),= 216,= 21521,= 216,设 m = 4,n = 10,尾数规格化后的浮点数表示范围,三、举 例,解:,二进制形式,定点表示,浮点规 格化形式,x原 = 1, 0010; 0. 1001100000,x补 = 1, 1110; 0. 1001100000,x反 = 1, 1101; 0. 1001100000,定点机中,浮点机中,000,x = 0.0010011,x = 0.0010011,x = 0.10011000002-10,x原 = x补 = x反 = 0.00
14、10011000,x = 111010,0000,例 6.14,将 58 表示成二进制定点数和浮点数,并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数及阶码为移码,尾数为补码的形式(其他要求同上例)。,解:,设 x = 58,二进制形式,定点表示,浮点规格化形式,x原 = 1, 0000111010,x补 = 1, 1111000110,x反 = 1, 1111000101,x原 = 0, 0110; 1. 1110100000,x补 = 0, 0110; 1. 0001100000,x反 = 0, 0110; 1. 0001011111,定点机中,浮点机中,x阶移、尾补 = 1, 0110; 1. 0
15、001100000,x = 111010,x = (0.1110100000) 2110,例6.15,写出对应下图所示的浮点数的补码 形式。 设 n = 10,m = 4, 阶符、数符各取 1位。,解:,真值,最大正数,最小正数,最大负数,最小负数,215(1 210),215 2 10,215 2 10,215(1 210),0,1111; 0.1111111111,1,0001; 0.0000000001,1,0001; 1.1111111111,0,1111; 1.0000000001,补码,当浮点数 尾数为 0 时,不论其阶码为何值 按机器零处理,机器零,当浮点数 阶码等于或小于它所表
16、示的最小 数 时,不论尾数为何值,按机器零处理,如 m = 4 n = 10,当阶码用移码,尾数用补码表示时,机器零 为,有利于机器中“ 判 0 ” 电路的实现,当阶码和尾数都用补码表示时,机器零为,四、IEEE 754 标准,符号位 S 阶码 尾数 总位数,1 8 23 32,1 11 52 64,1 15 64 80,尾数为规格化表示,非 “0” 的有效位最高位为 “1”(隐含),6.3 定 点 运 算,一、移位运算,1. 移位 的意义,15 米 = 1500 厘米,小数点右移 2 位,机器用 语,左移 绝对值扩大,右移 绝对值缩小,在计算机中,移位与加减配合,能够实现乘除运算,2. 算术
17、移位规则,1,右移 添 1,左移 添 0,0,反 码,补 码,原 码,负数,0,原码、补码、反码,正数,添补代码,码 制,符号位不变,例6.16,设机器数字长为 8 位(含一位符号位),写出 A = +26时,三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值,并分析结果的正确性。,解:,A = +26,则 A原 = A补 = A反 = 0,0011010,+ 6,0,0000110,+13,0,0001101,+104,0,1101000,+ 52,0,0110100,+26,0,0011010,移位前,= +11010,例6.17,设机器数字长为 8 位(含一位符号位),写出 A = 2
18、6时,三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值,并分析结果的正确性。,解:,A = 26, 6,1,0000110, 13,1,0001101, 104,1,1101000, 52,1,0110100, 26,1,0011010,移位前,原码,= 11010, 6,1,1111001, 13,1,1110010, 104,1,0010111, 52,1,1001011, 26,1,1100101,移位前, 7,1,1111001, 13,1,1110011, 104,1,0011000, 52,1,1001100, 26,1,1100110,移位前,补码,反码,3. 算术移位的硬件
19、实现,(a)真值为正,(b)负数的原码,(c)负数的补码,(d)负数的反码,出错,影响精度,出错,影响精度,正确,影响精度,正确,正确,4. 算术移位和逻辑移位的区别,算术移位,有符号数的移位,逻辑移位,无符号数的移位,逻辑左移,逻辑右移,低位添 0,高位移丢,高位添 0,低位移丢,例如 01010011,逻辑左移,10100110,逻辑右移,01011001,算术左移,算术右移,00100110,11011001(补码),高位 1 移丢,10110010,二、加减法运算,1. 补码加减运算公式,(1) 加法,(2) 减法,整数,A补 + B补,= A+B补(mod 2n+1),小数,A补 +
20、 B补,= A+B补(mod 2),整数,A B补,= A+(B )补,= A补 + B补,(mod 2n+1),小数,A B补,= A+(B )补,(mod 2),连同符号位一起相加,符号位产生的进位自然丢掉,= A补 + B补,2. 举例,解:,A补,B补,A补 + B补,+,= 0 . 1 0 1 1,= 1 . 1 0 1 1,= 1 0 . 0 1 1 0,= A + B补,验证,0.1011, 0.0101,0.0110, A + B = 0 . 0 1 1 0,A补,B补,A补 + B补,+,= 1 , 0 1 1 1,= 1 , 1 0 1 1,= 1 1 , 0 0 1 0,
21、= A + B补,验证, 1001, 1110,解:, A + B = 1110,例 6.20,设机器数字长为 8 位(含 1 位符号位) 且 A = 15, B = 24,用补码求 A B,解:,A补 + B补,+,= 1, 1110111,= A B补,B补 = 0, 0011000,练习 2 设机器数字长为 8 位(含 1 位符号位) 且 A = 97,B = +41,用补码求 A B,A B = + 1110110 = + 118, A B = 1001 = 9,错,错,3. 溢出判断,(1) 一位符号位判溢出,参加操作的 两个数(减法时即为被减数和“求补” 以后的减数)符号相同,其结
22、果的符号与原操作 数的符号不同,即为溢出,硬件实现,如,有 溢出,无 溢出,溢出,(2) 两位符号位判溢出,x补 + y补 = x + y 补 (mod 4),x y补 = x补 + y补 (mod 4),结果的双符号位 相同 未溢出,结果的双符号位 不同 溢出,最高符号位 代表其 真正的符号,4. 补码加减法的硬件配置,三、乘法运算,1. 分析笔算乘法,A = 0.1101 B = 0.1011,AB = 0.10001111,0 . 1 1 0 1,0 . 1 0 1 1,1 1 0 1,1 1 0 1,0 0 0 0,1 1 0 1,0 . 1 0 0 0 1 1 1 1,符号位单独处理
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