线代总复习精简版.ppt
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1、1,线性代数 总复习,2,要求:理解行列式的概念,,计算低阶及特殊的行列式。,两个定义:,n 阶行列式; n 阶方阵行列式.,一、行列式,会用其性质与展开式定理,两个重要概念:,余子式和代数余子式,2、性质,1、概念,是计算行列式的中心环节,性质5用的较多。,利用性质将行列式化为三角形行列式,然后计算是,计算行列式的重要方法。,3,3、重要结论:,4、特殊关系式,上(下)三角行列式的值=对角线上元素之积,4,5、展开定理,5,例1、计算下列行列式。,解,r4-100r2,r2-2r1,r4-r1,6,解:,7,解:,8,4)设行列式,解,9,解:,10,逆矩阵、分块矩阵、利用逆矩阵求解线性方程
2、组。,主要内容:,二、矩阵,矩阵的概念、运算、初等变换、秩、,1、定义:,由mn个数,(i=1,2, ,m; j=1,2, ,n),排成的m行n列数表,称为一个m行n列矩阵,,简称为mn矩阵.,特别:,零矩阵、n阶方阵、行(列)矩阵、对称矩阵、,n阶对角阵、三角阵、单位阵、最简阶梯形。,11,2、矩阵的线性运算,与,若,一般来说,可能有,12,(2),(3),(5),(4),3、矩阵的运算律,(1),13,定义,则称A是可逆方阵,则B是A的一个逆矩阵,记为,4、可逆矩阵的定义和等价条件,中若存在方阵B, 使,n 阶方阵A可逆,(即齐次线性方程组)仅有零解。,14,设A、B都是n阶可逆矩阵,k是
3、非零数,则,5、可逆矩阵的性质,15,特别:,6、求方阵A的逆矩阵的方法,16,8、初等方阵,共三种,互换阵,倍加阵,倍乘阵,(列)变换得到的矩阵.,7、矩阵的初等行变换,9、矩阵A的标准形,17,1、R(A):A的不等于0的子式的最大阶数。,2、秩的基本关系式:,3、关于秩的重要结论:,10、矩阵的秩,18,11、秩的求法:,1)R(A):A的不等于0的子式的最大阶数;,2)初等变换法:,R(A)= T的阶梯数;,3)若P可逆,则,常需先验证P可逆。,19,12、分块对角阵及其性质,其中,均为方阵。,20,2、,4、,3、,R(A)=,5、,可逆时,,则A可逆,且,21,例1、,解:,22,
4、例2、,设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0,证明 A-2E 可逆,,解:,原式可写为,23,例3、,设矩阵 X 满足:AXB = XB+C,求X,其中,由已知,得 AXB-XB = C,,则得,显然A - E、B均可逆,并且,解:,24,例4、,设A是5阶方阵,且,求,解:,25,定义1,推论:,(2) 有非零解。,(2)只有零解。,三、向量组的线性相关性,26,定义2,推论:,(1) 有解。,27,定义3,T的最大无关组。,如果 R( T ) =r,则T中任意r个线性无关的向量都构成,则称,是向量组T的一个最大线性无关组。,r称为T的秩,记为,28,定理1,定理2,关键:至少有一个,但
5、不能保证是哪一个。,定理3 R(A)=A的列向量组的秩=A行向量组的秩,定理4 矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系。,注意:求最大无关组、讨论线性表示主要用此方法;,讨论线性相关性、求秩也可用此方法。,29,定理5,定理6,数字型,有非零解;,齐次线性方程组有非零解;,30,例1、,设,解:,的一个最大线性无关组,,并将其余向量用此线性无关组线性表示。,求,31,其余向量由此最大无关组表示为:,所以,的一个最大线性无关组为:,32,例2、,解:,因为行列式,所以当b=3或b=1时,D=0,线性相关;,否则线性无关。,33,例3 设向量组,问 k 为何值时,表示法惟一,,不惟一,,不可表示
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