线代数新教材精彩案例.ppt
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1、线性代数 新教材精彩案例,李尚志 北京航空航天大学,2019/8/18,一、 指导思想,1、主题 文学: 永恒主题 = 爱 + 死 ? 数学: 重要主题 = 方程+函数 微积分: 非线性线性 线性代数: 多元一次方程组+多元一次函数组,2019/8/18,空间解析几何 = 3 维线性代数 线性代数 = n 维解析几何 空间为体,矩阵为用 几何问题矩阵语言描述 矩阵运算解决 几何解 方程组几何描述代数语言描述 矩阵运算求解,2、代数几何熔一炉,2019/8/18,几何 PK 代数 几何好看不好算 代数好算不好看 几何代数: 帮助计算 代数几何:帮助理解,2019/8/18,内容: 最简单的方程
2、- 一次方程 最简单的函数 - 一次函数 算法少:只有两个 (1) 矩阵初等变换,(2) 矩阵乘法。 通过初等矩阵相互转化 1 . 5 个,3、线性代数之易,2019/8/18,不怪抽象,不怪学生 怪谁:只为考试死记硬背,不解决问题 解方程组只会用中学代入法; 判定方程组解的惟一性不会用线性无关; 算旋转不会用矩阵乘法; 算旋转轴不会用特征向量; 抽象=许多不同事物共同点=难得糊涂 =放之四海皆准=无招胜有招,4、线性代数之难:抽象,2019/8/18,学会少量算法,解决大量问题 各种问题转化(凌波微步)少量算法 无招胜有招 如何实现:通过有招学无招 积累案例,使用案例 案例:阳春白雪下里巴人
3、 抽象数学贴近生活,喜闻乐见,易学易用,5、线性代数之教学任务,博客与视频,http:/ http:/ 比梦更美好, 名师培养了我 数学家的文学故事 数学聊斋, 数学诗选 视频: 李尚志 访谈:教育人生数学的草根本色 CCTV1见证与亲历:首博诞生记,网上资源,http:/ 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) http:/教育部 线性代数(非数学专业)(2006) 高等数学 (2008) (郑志明) 联系办法: ,2019/8/18,数学的神韵 科学出版社 2010.4,新书介绍,已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,2006.5,精品课程网
4、页 http:/,2019/8/18,案例1.1 解n元一次方程组,与中学接轨:加减消去法 各方程乘常数再相加 = 线性组合 原方程组解新方程解原方程解? 怎样保证:变形前后互为线性组合! 怎样实现:初等变换,高斯消去法。 只计算系数:矩阵消元. 只用到加减乘除:数域,2019/8/18,案例2.1 方程组惟一解问题,例1.过已知点 的多项式函数曲线 方程组的解是否惟一:,2019/8/18,方程组惟一解问题,例2.已知电压与各电阻,求各段电流 对任意电阻值有惟一解? 物理:yes. 代数:方程组总有惟一解吗?,二元一次方程组的几何意义,写成向量形式,惟一解条件: OA,OB 不共线 , 组成
5、平面上一组基,案例2.2 n=2,3的几何解法,用各aj 线性组合 b,何时系数惟一?,案例2.3. n元方程组几何解释,2019/8/18,案例2.4 共线共面概念推广,几何概念难推广,用代数运算描述易推广 两向量a,b共线 一个是另一个的实数倍 xa+yb=0 有非零解 (x,y). 三向量a,b,c共面 一个是另两个的线性组合 推广到 n 维向量 线性相关: 有非零解 线性无关: 只有零解 若有解必惟一,xa+yb+zc=0 有非零解 (x,y,z),解方程组 OB顺时针方向旋直角到 与方程两边作内积消去y,得,是平行四边形OAPB有向面积. 称为二阶行列式。,案例3.1 二阶行列式:几
6、何定义,利用基本性质计算 2 阶行列式,利用基本性质计算:,=,案例3.2 三阶行列式,几何定义:D=a (bc) 平行六面体有向体积,2019/8/18,案例3.3 n阶行列式定义,3阶算法: 各列取不同行元素ai,bj,ck相乘再乘d(ijk) =(-1)s. d(ijk)是自然基列向量ei,ej,ek排成的行列式,经s次两列互换为d (123)=1. n 阶行列式 D= 排列 经s次对换变成 则 在 中将1,2,依次往前一步步换到第1,2, 位.则 s = 逆序数,2019/8/18,案例3.4 行列式判定线性无关,方阵A的行列式(n维体积) D 0 各列线性无关方程组Ax=b有惟一解。
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