线变换和矩阵.ppt
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1、7.3 线性变换和矩阵,一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵-相似矩阵 二、教学目的: 1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵,以及给定n 阶矩阵和基,求出关于这个基的矩阵为的线性变换 2由向量关于给定基的坐标,求出()关于这个基的坐标 3已知线性变换关于某个基的矩阵,熟练地求出关于另一个基的矩阵. 三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵.,7.3.1 线性变换的矩阵,现在设V是数域F上一个n维向量空间,令是V的一个线性变换,取定V的一个基 令,设,n 阶矩阵A 叫做线
2、性变换关于基 的矩阵. 显然,A的第j 列就是(j)关于基 的坐标. 上面的表达常常写出更方便的形式:,(1),由此可知: 取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,都有唯一确定的n阶矩阵A与之对应这样一来,从L(V)到Mn(F)必然存在着一个对应关系-映射,不妨记为,练习:教材P284-习题第1题,7.3.2 坐标变换,设V 是数域F上一个n 维向量空间, 是V 的一个基, 关于这个基的坐标是 而()的坐标是 问: 和 之间有什么关系呢?,设,因为是线性变换,所以,(2),将(1)代入(2)得,最后,等式表明, 的坐标所组成的列是,综合上面所述, 我们得到坐标变换公式:,定
3、理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间,是V的一个线性变换,而关于V的一个基 的矩阵是,如果V中向量关于这个基的坐标是 ,而()的坐标是 ,,那么,例,例在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令是将 的每一向量旋转角的一个旋转. 是 的一个线性变换.我们有,所以关于基 的矩阵是,设 ,它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么,例3 令是数域上一个n维向量空间, 是的一个位似,那么 关于任意基的矩阵是 特别地,的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩 阵;零变换关于任意基的矩阵是零矩阵,7.3.3 矩阵唯一确定线性变换,引理7.3.2 设V是数域F上一个n 维向量空间,
4、 是V的一个基,那么对于V 中任意 n个向量 ,有且仅有 V 的一个线性变换,使得:,我们证明,是V的一个线性变换。设,那么,于是,设 那么,这就证明了是V的一个线性变换。线性变换显然满足定理所要求的条件:,如果是V的一个线性变换,且,那么对于任意,从而 ,定理7.3.3 设V 是数域 F 上一个n 维向量空间, 是V 的一个基,对于V 的每一个线性变换,令关于基 的矩阵A与它对应,这样就得到V 的全体线性变换所成的集合 L(V)到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一个双射,并且如果 ,而 , 则 (3) (4),证 设线性变换关于基 的矩阵是A。那么 是 的一个映射。,是F上任意一个n阶矩阵。
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