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1、8.4 线性多步法,8.4.2 基于Taylor展开的方法,8.4.2 基于Taylor展开的方法,8.4.1 基于数值积分的方法,8.4 线性多步法,常微分方程初值问题(8.1.1)的数值解法中,除了Runge-Kutta型公式等单步法之外,还有另一种类型的解法,即某一步的公式不仅与前一步解的值有关,而且与前若干步解的值有关,利用前面多步的信息预测下一步的值,这就是多步法的基本思想,可以期望获得较高的精度。构造多步法有多种途径,下面先讨论基于数值积分的方法。,8.4.1 基于数值积分的方法,如推导Newton-Cotes求积公式一样,用等距节点的插值多项式来替代被积函 数,再对插值多项式积分
2、,这样就得到一系列求积公式。 例如,用梯形方法计算积分项,代入(8.4.1)式有,据此即可导出公式(8.1.4)。 一般地,设由 个数据点 构造插值多项式 ,这里, 。运用插值 公式有,将(8.4.1)离散化即得下列计算公式,(8.4.2),其中,由此可得(8.4.2)中的系数,其具体数值见表8-6。公式(8.4.2)是一个r+1 步的显式公式,称为Adams显式公式。r=0时,即为Euler公式。,应用实例: 考虑跳伞员的下落速度。 自由落体运动可用牛顿第二定律描述:F=ma。实验表明,空气阻力模型 为 ,其中 ,比例系数 k 依赖于物体的大小、形状,空气 的密度和粘度。跳伞员下落的速度可描
3、述为下列模型:,负号表示下降。显然,当 1 p 2 时,适合于数值方法求解。 设 k / m =1.5,g=32,先用中点法提供开始值,再用下列两步而阶方法,求其他需要计算的值。当 p=1 时,取 h=0.2 有,可见,三秒末跳伞员的末速度约有 21 。 若将模型修改为 p=1.1,取 h=0.2,则有计算结果:,可见三秒末跳伞员的末速度减慢了。计算结果如下图所示,+ 表示 p=1时的解,* 表示 p=1.1时的解,在上述Adams显式公式的推导中,选用了 作为插值 节点。这样的插值多项式 在求积区间 上逼近 是一 个外推结果。为了改善逼近效果,我们变外推为内推,即改用 为插值节点,用数据点
4、构造插值 多项式 ,则有,于是我们有如下的计算公式,(8.4.3),其中,其具体数值见表 8-7。公式(8.4.3)是隐式公式,称为 Adams隐式公式。 r=0,1时分别为隐式 Euler公式和梯形公式。,对于隐式公式(8.4.3),需要用迭代求解。确定 的迭代公式为,迭代收敛条件为 ,其中 的Lipschitz常数 利用插值多项式的余项,可以求出 Adams方法的局部截断误差。当然 也可以从得到的显式和隐式 Adama公式,有局部截断误差的定义来求出方 法的局部截断误差。表 8-8中列出了它们的局部截断误差的主项,有表 8-8 可以看出,Adams隐式方法的局部截断误差要小。,8.4.2
5、基于Taylor展开的方法,当 时,则(8.4.4)为显式多步式。当 时,(8.4.4)为隐式多 步式。它们的局部截断误差为,现利用Taylor展开定理,确定线性多步公式(8.4.4)中的待定参数 , 使她达到 阶精度,即 。 对(8.4.5)式的右端各项在 点处作Taylor展开有,将它们代入(8.4.5)式整理后得,而且得到线性多步法的局部截断误差,由于 r=3,p=4 ,由(8.4.6)得到5个方程,而(8.4.7)中有9个为知量, 因此,(8.4.7)中有4个自由度。 若取 ,由(8.4.6)式得到其他5个待定参数的 方程组,解之得,若 取 ,由(8.4.6)式得到其他5个待定参数的
6、方程组,解之得,由此构造成著名的四步四阶显式Milne公式和它的余项,若取 ,求解(8.4.6)得著名的三步四阶隐式 Hamming公式及其余项:,若取 ,求解(8.4.6)得到隐式Simpson公式及其 余项:,例8.5 分别取 h=0.2,2,用四阶显式 Milne公式和四阶隐式 Hamming公式 求解例8.4所给的初值问题。 解 我们用单步法提供多步法的初值。由4阶经典R-K公式为Milne公式提 供初值 ,为 Hamming公式提供 。h=0.2和h=2时的 计算结果及准确解之间的误差分别列于表8-9和表8-10。 从表8-9看出,两种多步法的计算精度都很高,Hamming公式化比
7、Milne公 式更精确。这是因为 Hamming公式的截断误差主项的系数比 Milne公式小。从 表8-10看到,当计算步长变大后,显式多步法 Milne公式的计算结果误差增大, 不稳定,而隐式多步法 Hamming公式的计算结果仍然是稳定的,这说明隐式公 式的稳定性比同阶的显式公式好。,表8-9,表 8-10,经典R-K法和上述四阶线性多步法公式都是四阶精度,但每前进一步,前 者要计算4次微分方程右端方程,而后者只要计算一次新的右端函数值,计算 量减小了。,8.4.3 预估-校正算法 显式多步法容易计算,但其精度和稳定性没有相应的隐式方法好。然而, 隐式多步法需解方程,如果初值选得不当,则计
8、算量较大。因此,设法选取好 的迭代初值是必要的。初值的自然选取是采用同阶显式多步法计算得到的解作 为隐式方法迭代的初值。这样,迭代次数不会多。若只迭代一次,则这样的算 法就是预估-校正算法。对于线性多步法,常用的预估校正方法有四阶 Admas 显隐式预估-校公式和 Milne-Hamming 方法。,1.Adams 预估-校正公式 由(8.4.9)式作为预估公式,由(8.4.13)式作为校正公式,构成 Adams 预估- 校正公式:,若需作进一步的修正,则记上式所得的 ,由(8.4.10)和 (8.4.14)式有,于是得到,由此可见,若记,则 分别比 更好。但注意到, 的表达式中, 是未知的,
9、因此改为,在计算时,可调节计算步长 h ,使 ,其中 是 要求达到的计算精度。初值 由同阶单步法提供,当计算 时, 可取 。,2. 修正Hamming公式 将 Milne 公式(8.4.11)和 Hamming 公式(8.4.15)结合,构成 Milne- Hamming 预估-校正公式:,若需作进一步的修正,则记上式所得的 ,由(8.4.12)和(8.4.16) 有,从而构成如下的修正 Hamming 公式:,在计算时,可调节计算步长 h ,使 。初值 由同阶单步法提供,当计算 时,可取 。,例8.6 取 h=0.2,用 Milne-Hamming 预估-校正公式和修正 Hamming 公 式求解例8.4所给的初值问题。 解 用经典 R-K 法提供初值,计算结果列于表 8-11。将表 8-9 与表 8-11 所示的计算结果进行比较,它们的计算精度排列次序是:修正 Hamming 公 式的精度最好,其次是隐式 Hamming 公式,再次是 Milne-Hamming 预估- 校正公式,最后是 Milne 公式。,表8-11,
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